FANDOM


Fie o curbă $ \Gamma \! $ definită prin vectorul de poziţie $ \vec r \! $.

Dacă $ \vec \tau \! $ este versorul tangentei şi cu $ \vec n \! $ versorul lui $ \overrightarrow r'' (s) \! $, atunci

(1)     $ \vec r''(s) \perp \vec r' (s). $

Rezultă:

(2)     $ \frac {d \vec \tau}{ds}= K \vec n $,

unde K este funcţie de s care se va preciza.

Tangenta la o curba

Definiţia 1: Se numeşte normala principală la curba $ \Gamma \! $ în punctul M dreapta care trece prin M şi care are ca vector director versorul $ \vec n \! $ (versorul normalei principale).


Definiţia 2: Se numeşte curbura curbei $ \Gamma \! $ în punctul M lungimea vectorului $ \frac {d \vec \tau}{ds} $ (adică K din formula (0.4.1))

Frenet reper

Definiţia 3: Se numeşte versorul binormalei la curba $ \Gamma \! $ în punctul M versorul $ \vec b \! $ definit de:

$ \vec b = \vec \tau \times \vec n $

şi se numeşte binormala la curba $ \Gamma \! $ în punctul M dreapta care trece prin M şi are ca vector director versorul $ \vec b \! $.


Definiţia 4: Se numeşte reperul lui Frenet la curba $ \Gamma \! $ în punctul M reperul $ \{ M, \vec \tau, \vec n, \vec b \} \! $.

Să calculăm acum derivatele versorilor reperului lui Frenet în raport cu parametrul natural al curbei $ \Gamma \! $. Derivata lui $ \vec \tau \! $ este (vezi 0.4.1):

(1)     $ \frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n $

Derivata lui $ \vec b \! $ este un vector perpendicular pe $ \vec b \! $ şi:

(3)     $ \frac {d \vec b}{ds} = \frac {d \vec \tau}{ds} \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = $ $ = K \vec n \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} $

deci $ \frac {d \vec b}{ds} \! $ este perpendicular şi pe $ \vec \tau $. Prin urmare $ \frac {d \vec b}{ds} \! $ este coliniar cu $ \vec n \! $ (a doua formulă a lui Frenet):

(4)     $ \frac {d \vec b}{ds} = - T \vec n $

Definiţia 5: Se numeşte torsiunea curbei $ \Gamma \! $ în punctul M funcţia T de s definită de (0.4.2).


Sa calculăm acum $ \frac {d \vec n}{ds} \! $. Deoarece

(5)     $ \vec n = \vec b \times \vec \tau \! $

avem:

(1)     $ \frac {d \vec n}{ds} = \frac {d \vec b}{ds} \times \vec \tau + \vec b \times \frac {d \vec \tau}{ds}= $ $ = - T \vec n \times \vec \tau + \vec b \times K \vec n = T \vec b - K \vec \tau $.

Am obţinut astfel cea de-a treia formulă a lui Frenet:

(6)     $ \frac {d \vec n}{ds} = - K \vec \tau + T \vec b $


Remarcă: Cele trei formule ale lui Frenet se pot reţine mai uşor sub forma unui tabel:

  $ \vec \tau \! $ $ \vec n \! $ $ \vec b \! $
$ \frac {d \vec \tau}{ds} $ 0 K 0
$ \frac {d \vec n}{ds} $ -K 0 T
$ \frac {d \vec b}{ds} $ 0 -T 0

Vezi şi Edit

Resurse Edit