FANDOM


Fie o curbă \Gamma \! definită prin vectorul de poziţie \vec r \!.

Dacă \vec \tau \! este versorul tangentei şi cu \vec n \! versorul lui \overrightarrow r'' (s) \!, atunci

(1)     \vec r''(s) \perp \vec r' (s).

Rezultă:

(2)     \frac {d \vec \tau}{ds}= K \vec n,

unde K este funcţie de s care se va preciza.

Tangenta la o curba

Definiţia 1: Se numeşte normala principală la curba \Gamma \! în punctul M dreapta care trece prin M şi care are ca vector director versorul \vec n \! (versorul normalei principale).


Definiţia 2: Se numeşte curbura curbei \Gamma \! în punctul M lungimea vectorului  \frac {d \vec \tau}{ds} (adică K din formula (0.4.1))

Frenet reper

Definiţia 3: Se numeşte versorul binormalei la curba \Gamma \! în punctul M versorul \vec b \! definit de:

\vec b = \vec \tau \times \vec n

şi se numeşte binormala la curba \Gamma \! în punctul M dreapta care trece prin M şi are ca vector director versorul \vec b \!.


Definiţia 4: Se numeşte reperul lui Frenet la curba \Gamma \! în punctul M reperul \{ M, \vec \tau, \vec n, \vec b \} \!.

Să calculăm acum derivatele versorilor reperului lui Frenet în raport cu parametrul natural al curbei \Gamma \!. Derivata lui \vec \tau \! este (vezi 0.4.1):

(1)     \frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n

Derivata lui \vec b \! este un vector perpendicular pe \vec b \! şi:

(3)     \frac {d \vec b}{ds} = \frac {d \vec \tau}{ds} \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = = K \vec n \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds}

deci \frac {d \vec b}{ds} \! este perpendicular şi pe \vec \tau. Prin urmare \frac {d \vec b}{ds} \! este coliniar cu \vec n \! (a doua formulă a lui Frenet):

(4)     \frac {d \vec b}{ds} = - T \vec n

Definiţia 5: Se numeşte torsiunea curbei \Gamma \! în punctul M funcţia T de s definită de (0.4.2).


Sa calculăm acum \frac {d \vec n}{ds} \!. Deoarece

(5)     \vec n = \vec b \times \vec \tau \!

avem:

(1)     \frac {d \vec n}{ds} = \frac {d \vec b}{ds} \times \vec \tau + \vec b \times \frac {d \vec \tau}{ds}= = - T \vec n \times \vec \tau + \vec b \times K \vec n = T \vec b - K \vec \tau.

Am obţinut astfel cea de-a treia formulă a lui Frenet:

(6)     \frac {d \vec n}{ds} = - K \vec \tau + T \vec b


Remarcă: Cele trei formule ale lui Frenet se pot reţine mai uşor sub forma unui tabel:

  \vec \tau \! \vec n \! \vec b \!
\frac {d \vec \tau}{ds} 0 K 0
\frac {d \vec n}{ds} -K 0 T
\frac {d \vec b}{ds} 0 -T 0

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki