Fandom

Math Wiki

Formulele lui Frenet

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie o curbă \Gamma \! definită prin vectorul de poziţie \vec r \!.

Dacă \vec \tau \! este versorul tangentei şi cu \vec n \! versorul lui \overrightarrow r'' (s) \!, atunci

(1)     \vec r''(s) \perp \vec r' (s).

Rezultă:

(2)     \frac {d \vec \tau}{ds}= K \vec n,

unde K este funcţie de s care se va preciza.

Tangenta la o curba.png

Definiţia 1: Se numeşte normala principală la curba \Gamma \! în punctul M dreapta care trece prin M şi care are ca vector director versorul \vec n \! (versorul normalei principale).


Definiţia 2: Se numeşte curbura curbei \Gamma \! în punctul M lungimea vectorului  \frac {d \vec \tau}{ds} (adică K din formula (0.4.1))

Frenet reper.png

Definiţia 3: Se numeşte versorul binormalei la curba \Gamma \! în punctul M versorul \vec b \! definit de:

\vec b = \vec \tau \times \vec n

şi se numeşte binormala la curba \Gamma \! în punctul M dreapta care trece prin M şi are ca vector director versorul \vec b \!.


Definiţia 4: Se numeşte reperul lui Frenet la curba \Gamma \! în punctul M reperul \{ M, \vec \tau, \vec n, \vec b \} \!.

Să calculăm acum derivatele versorilor reperului lui Frenet în raport cu parametrul natural al curbei \Gamma \!. Derivata lui \vec \tau \! este (vezi 0.4.1):

(1)     \frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n

Derivata lui \vec b \! este un vector perpendicular pe \vec b \! şi:

(3)     \frac {d \vec b}{ds} = \frac {d \vec \tau}{ds} \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = = K \vec n \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds}

deci \frac {d \vec b}{ds} \! este perpendicular şi pe \vec \tau. Prin urmare \frac {d \vec b}{ds} \! este coliniar cu \vec n \! (a doua formulă a lui Frenet):

(4)     \frac {d \vec b}{ds} = - T \vec n

Definiţia 5: Se numeşte torsiunea curbei \Gamma \! în punctul M funcţia T de s definită de (0.4.2).


Sa calculăm acum \frac {d \vec n}{ds} \!. Deoarece

(5)     \vec n = \vec b \times \vec \tau \!

avem:

(1)     \frac {d \vec n}{ds} = \frac {d \vec b}{ds} \times \vec \tau + \vec b \times \frac {d \vec \tau}{ds}= = - T \vec n \times \vec \tau + \vec b \times K \vec n = T \vec b - K \vec \tau.

Am obţinut astfel cea de-a treia formulă a lui Frenet:

(6)     \frac {d \vec n}{ds} = - K \vec \tau + T \vec b


Remarcă: Cele trei formule ale lui Frenet se pot reţine mai uşor sub forma unui tabel:

  \vec \tau \! \vec n \! \vec b \!
\frac {d \vec \tau}{ds} 0 K 0
\frac {d \vec n}{ds} -K 0 T
\frac {d \vec b}{ds} 0 -T 0

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki