Formula lui Euler (mecanică)

Leonhard Euler Dreapta lui Euler‎‎ Cercul lui Euler Ecuația Cauchy–Euler Numărul lui Euler Constanta lui Euler Caracteristica Euler Teorema lui Euler (geometrie) Teorema lui Euler (teoria numerelor) Formula lui Euler Formula lui Euler (mecanică) Metoda Euler Integrala Euler-Poisson Formula Euler-Maclaurin Produsul lui Euler Integrală Euler Unghiurile lui Euler Inegalitatea lui Euler Relația lui Euler pentru patrulatere

Deşi mişcarea solidului rigid poate fi complexă, există posibilitatea de a o descrie prin intermediul unor teoreme din geometrie (Euler, Chasles, Mozzi). Toatea acestea se bazează pe ideea că o trecere de la o poziţie la alta a corpului poate fi realizată prin compunerea unor rotaţii şi a unor translaţii.

Considerăm trei puncte necoliniare ale solidului rigid S. Deoarece:

$|\overline{M_1M_3}|^2 = (\overline{M_1M_2} + \overline{M_2M_3})^2 = \!$

$= |\overline{M_1M_2}|^2 + |\overline{M_2M_3}|^2 + 2 |\overline{M_1M_2}| \cdot |\overline{M_2M_3}| \cdot \cos (\overline{M_1M_2} , \overline {M_2M_3}), \!$

deducem că mişcarea solidului rigid conservă unghiul a două drepte coplanare din alcătuirea sa. Mai general chiar, deoarece:

$\overline{M_1M_2} \cdot \overline{M_3M_4} = \overline{M_1M_2} \cdot (\overline{M_3M_2} + \overline{M_2M_4} ) = \!$   (1)

$= \overline{M_1M_2} \cdot \overline{M_2M_4} -\overline{M_1M_2} \cdot \overline{M_2M_3} , \!$   (2)

observăm că unghiul a două drepte oarecare se conservă în mişcarea solidului rigid. Această proprietate este specifică izometriilor planului şi spaţiului euclidian.

Conform celor expuse la mișcarea relativă a punctului material, luând ca reper $\mathcal R' = (A, \vec C), \!$ presupus solidar legat de solidul rigid, putem scrie că:

$\overline v_B(t) = \overline v_A (t) + \overline {\omega} \times \overline {AB} \!$   (3)

(formula lui Euler),

unde B reprezintă o particulă a corpului material.

Relaţia (3) desemnează distribuţia vitezelor în corpul rigid, arătând modul în care fiecărei particule B din constituţia acestuia i se atribuie (distribuie) viteza $\vec v_B \in T_B \mathbb R^3, \; \vec v_B \in \overline v_B. \!$

Resurse

• Elemente de mecanica punctului material şi a solidului rigid (copie la Wikia) (pag. 246)