Fandom

Math Wiki

Formele fundamentale ale unei suprafețe

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Formele fundamentale ale unei suprafețe au fost introduse de Gauss în 1828.

Prima formă fundamentală Edit

(Vezi articolul: Prima formă fundamentală a unei suprafețe.)

Definiţie. Fie \mathcal M \! o suprafață regulată în \mathbb R^3 \! şi un punct p \in \mathcal M. \![1]

Forma biliniară I(v_p, w_p) \in T_p \mathbb R^3 = \mathcal h  v_p, w_p \mathcal i \; \forall v_p, w_p \in T_p \mathcal M \! se numeşte prima formă fundamentală a suprafeţei \mathcal M \! în punctul p.


Observaţii.

1. Prima formă fundamentală este o formă biliniară simetrică, pozitiv definită.

2. Dacă v_p, w_p \in T_p \mathcal M, \; (U, x) \! parametrizare locală în jurul lui p \in \mathcal M, \! avem v_p= ax_u+bx_v, \; w_p= a'x_u+b'x_v, \! unde (x_u, x_v) \! e baza în T_p \mathcal M \! şi x_u, x_v \! reprezintă derivatele parţiale ale lui x calculate în (u, v) \in U \! astfel încât x(u, v)= p. \!


Atunci:

\langle v, w \rangle  = \mathcal h  x_u, x_u \mathcal i aa' + \langle x_u, x_v \rangle ab' + \langle x_v, x_u \rangle a'b + \langle x_v, x_v \rangle bb'.  \!

Pentru uşurinţă, se pot face notaţiile:

\langle x_u, x_u \rangle = E \!
\langle x_u, x_v \rangle= \langle x_v, x_u \rangle =F \!
\langle x_v, x_v \rangle = G, \!

iar E, F, G sunt numiţi coeficienţii primei forme fundamentale.


Fiind dată o parametrizare (U, x) \! a punctului p \in \mathcal M, \! putem alege un vector normal unitar în fiecare punct q \in x(U) \! astfel:

N(q) = \frac{x_u \times x_v}{\| x_u \times x_v \|} (q). \!   (normala Gauss)

Aşadar, avem o aplicaţie diferenţială N: x(U) \rightarrow \mathbb R^3 \! care asociază fiecărui punct q \in x(U) \! un vector normal unitar N(q). \!

Definiţie. Fie \mathcal M \subset \mathbb R^3 \! o suprafaţă şi sfera unitate S^2= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \; | \; x^2+y^2+z^2=1 \}. \! Aplicaţia N: \mathcal M \rightarrow S^2 \! definită anterior, se numeşte aplicaţia Gauss.

Aplicaţia Gauss fiind diferenţiabilă, putem defini diferenţiala lui N, \; \; dN_p: T_p \mathcal M \rightarrow T_p \mathcal M. \![2]

A doua formă fundamentală Edit

(Vezi articolul: A doua formă fundamentală a unei suprafețe.)

Definiţie. Fie \mathcal M \! suprafaţa regulată în \mathbb R^3 \! şi un punct p \in \mathcal M. \! Forma biliniară definită prin II(v_p, w_p)= - \langle dN (v_p), w_p \rangle \; \forall v_p, w_p \in T_p \mathcal M \! se numeşte a doua formă fundamentală a suprafeţei \mathcal M \! în punctul p.


Coeficienţii celei de-a doua forme fundamentale vor fi astfel daţi de expresiile:

e= - \langle N_u, x_u \rangle = \langle N, x_{uu} \rangle \!
f=- \langle N_v, x_u \rangle = \langle N, x_{uv} \rangle = \langle N, x_{vu} \rangle = - \langle N_u, x_v \rangle \!
g = - \langle N_v, x_v \rangle = \langle N, x_{vv} \rangle \!


Fie x(u, v) \! parametrizare în punctul p \in \mathcal M \! şi c(t)= x(u(t), v(t)) \! o curbă parametrizată a suprafeţei \mathcal M \! cu c(0)=p .\! Vectorul tangent al curbei c în punctul p este c'=x_u u'+ x_v v' \! şi dN(c') = N_uu'+N_vv'. \!

N_u \! şi N_v \! sunt in T_p \mathcal M, \! deci putem scrie:

N_u= -L_{11}x_u - L_{21}x_v, \!
N_v=-L_{21}x_u - L_{22}x_v. \!   (ecuaţiile lui Weingarten)

Funcţiile L_{ij} \! definesc un endomorfism simetric L al lui T_p \mathcal M. \!

L se numeşte operatorul Weingarten. Obţinem:

dN(c') = (-L_{11} u' + L_{12}v')x_u + (L_{21}u' + L_{22}v')x_v \!

sau, scris matriceal::

dN \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} \!

de unde se deduce că, în baza (x_u, x_v), \; \; dN \! este dat de matricea operatorului Weingarten.

Prin urmare, putem scrie a doua formă fundamentală cu ajutorul operatorului Weingarten:

II(v_p, w_p) = \langle Lv_p, Lw_p \rangle \; \forall v_p, w_p \in T_p \mathcal M. \!

A treia formă fundamentală Edit

(Vezi articolul: A treia formă fundamentală.)

Formele fund al supraf 1.png Formele fund al supraf 2.png Formele fund al supraf 3.png

Note Edit

  1. Se consideră că \mathbb  R^n \! are structura naturală de spațiu vectorial şi, de asemenea, T_p \mathbb R^n \! are structura de spaţiu vectorial real de dimensiune n cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari definite astfel: (p, v) + (p, w) = (p, v+w), \; \lambda (p, v) = (p, \lambda v), \! pentru orice p, v, w \in \mathbb R^n, \; \lambda \in \mathbb R. \!
  2. dN_p \! măsoară cum se modifică N din N(p) \! într-o vecinătate a lui p. În cazul curbelor, această măsură este dată de un număr, curbura. În cazul suprafeţelor, se caracterizează cu ajutorul unei aplicaţii liniare.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki