FANDOM


Formele fundamentale ale unei suprafețe au fost introduse de Gauss în 1828.

Prima formă fundamentală Edit

(Vezi articolul: Prima formă fundamentală a unei suprafețe.)

Definiţie. Fie $ \mathcal M \! $ o suprafață regulată în $ \mathbb R^3 \! $ şi un punct $ p \in \mathcal M. \! $[1]

Forma biliniară $ I(v_p, w_p) \in T_p \mathbb R^3 = \mathcal h v_p, w_p \mathcal i \; \forall v_p, w_p \in T_p \mathcal M \! $ se numeşte prima formă fundamentală a suprafeţei $ \mathcal M \! $ în punctul p.


Observaţii.

1. Prima formă fundamentală este o formă biliniară simetrică, pozitiv definită.

2. Dacă $ v_p, w_p \in T_p \mathcal M, \; (U, x) \! $ parametrizare locală în jurul lui $ p \in \mathcal M, \! $ avem $ v_p= ax_u+bx_v, \; w_p= a'x_u+b'x_v, \! $ unde $ (x_u, x_v) \! $ e baza în $ T_p \mathcal M \! $ şi $ x_u, x_v \! $ reprezintă derivatele parţiale ale lui x calculate în $ (u, v) \in U \! $ astfel încât $ x(u, v)= p. \! $


Atunci:

$ \langle v, w \rangle = \mathcal h x_u, x_u \mathcal i aa' + \langle x_u, x_v \rangle ab' + \langle x_v, x_u \rangle a'b + \langle x_v, x_v \rangle bb'. \! $

Pentru uşurinţă, se pot face notaţiile:

$ \langle x_u, x_u \rangle = E \! $
$ \langle x_u, x_v \rangle= \langle x_v, x_u \rangle =F \! $
$ \langle x_v, x_v \rangle = G, \! $

iar E, F, G sunt numiţi coeficienţii primei forme fundamentale.


Fiind dată o parametrizare $ (U, x) \! $ a punctului $ p \in \mathcal M, \! $ putem alege un vector normal unitar în fiecare punct $ q \in x(U) \! $ astfel:

$ N(q) = \frac{x_u \times x_v}{\| x_u \times x_v \|} (q). \! $   (normala Gauss)

Aşadar, avem o aplicaţie diferenţială $ N: x(U) \rightarrow \mathbb R^3 \! $ care asociază fiecărui punct $ q \in x(U) \! $ un vector normal unitar $ N(q). \! $

Definiţie. Fie $ \mathcal M \subset \mathbb R^3 \! $ o suprafaţă şi sfera unitate $ S^2= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \; | \; x^2+y^2+z^2=1 \}. \! $ Aplicaţia $ N: \mathcal M \rightarrow S^2 \! $ definită anterior, se numeşte aplicaţia Gauss.

Aplicaţia Gauss fiind diferenţiabilă, putem defini diferenţiala lui $ N, \; \; dN_p: T_p \mathcal M \rightarrow T_p \mathcal M. \! $[2]

A doua formă fundamentală Edit

(Vezi articolul: A doua formă fundamentală a unei suprafețe.)

Definiţie. Fie $ \mathcal M \! $ suprafaţa regulată în $ \mathbb R^3 \! $ şi un punct $ p \in \mathcal M. \! $ Forma biliniară definită prin $ II(v_p, w_p)= - \langle dN (v_p), w_p \rangle \; \forall v_p, w_p \in T_p \mathcal M \! $ se numeşte a doua formă fundamentală a suprafeţei $ \mathcal M \! $ în punctul p.


Coeficienţii celei de-a doua forme fundamentale vor fi astfel daţi de expresiile:

$ e= - \langle N_u, x_u \rangle = \langle N, x_{uu} \rangle \! $
$ f=- \langle N_v, x_u \rangle = \langle N, x_{uv} \rangle = \langle N, x_{vu} \rangle = - \langle N_u, x_v \rangle \! $
$ g = - \langle N_v, x_v \rangle = \langle N, x_{vv} \rangle \! $


Fie $ x(u, v) \! $ parametrizare în punctul $ p \in \mathcal M \! $ şi $ c(t)= x(u(t), v(t)) \! $ o curbă parametrizată a suprafeţei $ \mathcal M \! $ cu $ c(0)=p .\! $ Vectorul tangent al curbei c în punctul p este $ c'=x_u u'+ x_v v' \! $ şi $ dN(c') = N_uu'+N_vv'. \! $

$ N_u \! $ şi $ N_v \! $ sunt in $ T_p \mathcal M, \! $ deci putem scrie:

$ N_u= -L_{11}x_u - L_{21}x_v, \! $
$ N_v=-L_{21}x_u - L_{22}x_v. \! $   (ecuaţiile lui Weingarten)

Funcţiile $ L_{ij} \! $ definesc un endomorfism simetric L al lui $ T_p \mathcal M. \! $

L se numeşte operatorul Weingarten. Obţinem:

$ dN(c') = (-L_{11} u' + L_{12}v')x_u + (L_{21}u' + L_{22}v')x_v \! $

sau, scris matriceal::

$ dN \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} \! $

de unde se deduce că, în baza $ (x_u, x_v), \; \; dN \! $ este dat de matricea operatorului Weingarten.

Prin urmare, putem scrie a doua formă fundamentală cu ajutorul operatorului Weingarten:

$ II(v_p, w_p) = \langle Lv_p, Lw_p \rangle \; \forall v_p, w_p \in T_p \mathcal M. \! $

A treia formă fundamentală Edit

(Vezi articolul: A treia formă fundamentală.)

Formele fund al supraf 1 Formele fund al supraf 2 Formele fund al supraf 3

Note Edit

  1. Se consideră că $ \mathbb R^n \! $ are structura naturală de spațiu vectorial şi, de asemenea, $ T_p \mathbb R^n \! $ are structura de spaţiu vectorial real de dimensiune n cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari definite astfel: $ (p, v) + (p, w) = (p, v+w), \; \lambda (p, v) = (p, \lambda v), \! $ pentru orice $ p, v, w \in \mathbb R^n, \; \lambda \in \mathbb R. \! $
  2. $ dN_p \! $ măsoară cum se modifică N din $ N(p) \! $ într-o vecinătate a lui p. În cazul curbelor, această măsură este dată de un număr, curbura. În cazul suprafeţelor, se caracterizează cu ajutorul unei aplicaţii liniare.

Resurse Edit