Fandom

Math Wiki

Formalism Lagrange

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Primul pas în formularea mecanicii analitice dată de Lagrange constă în definirea funcţiei L=L(q_i, \dot q_i, t), \! care-i poartă numele, care este o funcţie de stare ce descrie complet din punct de vedere mecanic starea sistemului, unde q_i \! şi \dot q_i \! sunt coordonatele şi vitezele generalizate.

Principiul lui Hamilton postulează existenţa funcţiei S, numită acţiune:

S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot q_i, t) dt \!   (23)

care înregistrează un extremum pe traiectoria reală în raport cu valorile sale calculate pe oricare din traiectoriile virtuale învecinate cu traiectoria reală:

\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot q_i, t) dt =0. \!   (24)
Traiectoria reala si cea virtuala.png

Fig. 4

Reamintim că traiectoria reală şi cele virtuale sunt trasate între aceleaşi două stări, iniţială \Sigma_1 \! şi finală \Sigma_2 \! (fig. 4), astfel încât:

\delta q_i (t_1) \equiv \delta q_i (t_2) \equiv 0. \!   (25)


variaţiile coordonatelor generalizate fiind calculate la acelaşi moment de timp, astfel că \delta t=0. \! Din principiul lui Hamilton derivă imediat ecuaţiile lui Lagrange. Astfel, vom calcula:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta L (q_i, \dot q_i, t) dt = \int_{t_1}^{t_2} \left ( \sum_{i=1}^f \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i  + \sum_{i=1}^f \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \delta \dot q_i  \right ) dt. \!

Ţinând seama că \delta \dot q_i= \delta \left ( \frac{dq_i}{dt} \right ) = \frac{d}{dt} \delta q_i, \! termenii celei de-a doua sume de sub integrală se integrează prin părţi:

\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \delta \dot q_i dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{d}{dt} \delta q_i dt =\left . \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \delta q_i dt.  \!

Deoarece \delta q_i(t_1) \equiv \delta q_i (t_2) \equiv 0, \! rezultă:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^f \left ( \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right ) \delta q_i dt. \!

Conform principiului lui Hamilton \delta S \equiv 0 \! şi cum variaţiile \delta q_i \! sunt arbitrare şi independente, acest lucru nu se poate realiza decât dacă toate parantezele care apar în termenii sumei de sub integrală sunt nule:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} =0, \; \; i = 1, 2, \cdots , f \!   (26)


Acestea sunt ecuaţiile Lagrange care constituie un sistem de f ecuaţii de ordinul doi cu f necunoscute q_i=q_i(t) \! care reprezintă coordonatele generalizate.

Soluţia generală a ecuaţiilor Lagrange va cuprinde un număr de 2f constante care vor fi determinate din condiţiile iniţiale.

Pentru un sistem de puncte materiale libere, drept coordonate generalizate se pot lua chiar coordonatele carteziene x_j, y_j, z_j, \! iar ecuaţiile Lagrange pentru fiecare punct material sunt:

\begin{matrix} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_j} = \frac{\partial L}{\partial x_j} \\ \\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y_j} = \frac{\partial L}{\partial y_j} \\ \\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z_j} = \frac{\partial L}{\partial z_j}  \end{matrix} \!   (27)

Dacă se înmulţesc aceste ecuaţii cu versorii axelor de coordonate şi se adună, atunci, introducând notaţiile:

\begin{matrix}  \vec 1_x \frac{\partial}{\partial \dot x_j} +  \vec 1_y \frac{\partial}{\partial \dot y_j} +  \vec 1_z \frac{\partial}{\partial \dot z_j} =\frac{\partial}{\partial \vec v_j} \\ \\  \vec 1_x \frac{\partial}{\partial  x_j} +  \vec 1_y \frac{\partial}{\partial  y_j} +  \vec 1_z \frac{\partial}{\partial  z_j} =\frac{\partial}{\partial \vec r_j}  \end{matrix} \!   (28)

rezultă pentru fiecare punct material ecuaţia:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \vec v_j} = \frac {\partial L}{\partial \vec r_j} \!   (29)

Se defineşte, de asemenea, impulsul generalizat p_i, \! conjugat unei coordonate generalizate q_i \!:

p_i= \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \!   (30)

şi forţa generalizată Q_i, \! conjugată cu o coordonată generalizată q_i \!:

Q_i=\frac{\partial L}{\partial q_i} \!   (31)

Pentru un punct material liber raportat la un referenţial cartezian impulsul conjugat este:

\vec p_j = \frac{\partial L}{\partial \vec v_j} \!   (32)

iar forţa conjugată este:

\vec F_j = \frac{\partial L}{\partial \vec r_j} \!   (33)

Ţinând cont de definiţiile (30) şi (31), ecuaţiile Lagrange (26) se scriu:

\dot p_i = Q_i \!   (34)

şi, în particular, pentru punctul material liber, ecuaţia Lagrange (29) devine):

\vec F_j = \dot {\vec p_j} \!   (35)

Ecuaţia (35) nu este altceva decât legea a II-a a lui Newton în forma ei cea mai generală, valabilă nu numai în mecanica clasică ci şi în mecanica relativistă.

Pentru un proces elementar care se desfăşoară între o stare iniţială \Sigma_1, \! pentru care coordonatele generalizate sunt q_i \! şi o stare învecinată \Sigma_2, \! de coordonate generalizate q_i+dq_i, \! se defineşte lucrul mecanic elementar d \mathcal L \!:

d \mathcal L = \sum_{i=1}^f Q_i dq_i. \!   (36)

Dacă procesul se desfăşoară între două stări oarecare de-a lungul unei curbe \Gamma \! date, atunci lucrul mecanic este:

\mathcal L_{1 \to 2} = \int_{1 \Gamma}^2 \sum_{i=1}^f Q_i dq_i \!   (37)

Pentru un sistem de puncte materiale libere care evoluează între două stări învecinate definite faţă de un sistem cartezian, lucrul mecanic elementar este:

d \mathcal L = \sum_{j=1}^N \vec F_j d \vec r_j \!   (38)

iar pentru un proces care are loc între două stări \Sigma_1 \! şi \Sigma_2 \! lucrul mecanic este:

\mathcal L = \int_1^2 \sum_{j=1}^N \vec F_j d \vec r_j. \!   (39)

Trebuie subliniat că într-un câmp de forţe conservative lucrul mecanic nu depinde de drumul Γ urmat ci numai de stările iniţială şi finală.

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki