FANDOM


Definiţie. Fie A un spațiu vectorial peste un corp $ \mathbb K \! $ şi o aplicație:

$ f: E^p \rightarrow \mathbb K. \! $

Spunem că f este o formă p-liniară dacă pentru orice $ i \in \{1, 2 , \cdots , p \} \! $ şi pentru orice vector $ u_j \in A, \! $ aplicaţiile parţiale:

$ A \rightarrow \mathbb K, \; \; x \mapsto f(u_1, u_2, \cdots , u_{i-1}, x, u_{i+1}, \cdots , u_n) \! $

sunt liniare.


În particular, o formele 1-liniare sunt denumite forme liniare


Despre o formă multiliniară spunem că este:

  • alternată dacă $ f(x_1, x_2, \cdots , x_p) =0 \! $ când doi dintre vectorii $ x_i \! $ sunt egali.
  • antisimetrică dacă schimbând între ei doi din vectorii $ x_i, \! $ forma f obţine valoare opusă.
  • simetrică dacă orice permutare în cadrul şirului $ (x_1, x_2, \cdots , x_p) \! $ nu modifică valoarea lui f.


Observaţie. Se poate demonstra că o formă multiliniară alternată este acelaşi lucru cu una multiliară antisimetrică.


Prin intermediul formelor multiliniare putem da o definiţie teoretică a determinantului:

Teoremă. Mulţimea formelor n-liniare alternate pe un spațiu vectorial E de dimensiune n este de dimensiune 1. În plus, dacă B este o bază pe E, există şi este unică o formă n-liniară alternată care să ia valoarea 1 pe B. Aceasta se va numi determinant în baza B'.

Vezi şi Edit