Formă biliniară

Fie V un spațiu vectorial peste corpul K.

Definiţie. Se numeşte formă biliniară pe spaţiul vectorial V o aplicație $g: V \times V \rightarrow K, \!$ care satisface condiţiile:

1)

g(\alpha x + \beta y, \; z) = \alpha g(x, z) + \beta g (y, z); \!

2)

g(x, \; \alpha y + \beta y) = \alpha g(x, y) + \beta g (x, z); \!

$\forall x, y, z \in V \!$ şi $\forall \alpha, \beta \in K. \!$

Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicaţie $g: V \times V \rightarrow K, \!$ liniară în ambele argumente.

Exemplul 1. Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial $\mathbb R^n. \!$

$\langle , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n, \!$ având în baza canonică $B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \!$ expresia analitică $\langle x, y \rangle = x_1y_2 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n, \!$ este o formă biliniară.

Mulţimea formelor biliniare definite pe spaţiul vectorial V formează un spaţiu vectorial peste K, în raport cu operaţiile de adunare şi înmulțire a funcțiilor.

Definiţie. O formă biliniară $g: V \times V \rightarrow K \!$ se numeşte

a) simetrică dacă

g(x, y) = g(y, x), \; \forall x, y \in V; \!

b) antisimetrică dacă

g(x, y) = - g (y, x), \; \forall x, y \in V. \!

Fie $V_n \!$ un spațiu vectorial n-dimensional, $B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \!$ o bază în spaţiul vectorial $V_n \!$ şi doi vectori oarecare $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \!$ şi $y = \sum_{i=1}^n y_i e_i. \!$

Expresia formei biliniare g, pentru vectorii x şi y, va fi dată de:

g(x, y) = g (\sum_{i=1}^n x_i e_i, \; y) = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, y) =   \!

= \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, \; \sum_{j=1}^n y_j e_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n y_j g(e_i, e_j) =  \!

= \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j. \!

unde s-a notat: $a_{ij} = g(e_i, e_j), \; i, j = 1, 2, \cdots , n. \!$

Am obţinut:

g(x, y) = \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j, \!

care este expresia analitică a formei biliniare g, iar matricea $A=(a_{ij}) \!$ se numeşte matricea formei biliniare g în raport cu baza B.

A este o matrice simetrică: ${}^t A = A. \!$ Dacă X (respectiv Y) reprezintă matricea coordonatelor lui x (respectiv y) în baza B, atunci egalităţile precedente se scriu ca nişte relaţii între matrici:

g(x, y) = {}^t X AY, \; \;  \!

Corespondenţa prin care fiecărei forme biliniare g i se asociază o matrice pătratică A, este un izomorfism de spaţii vectoriale. În plus, unei forme biliniare simetrice (antisimetrice), într-o bază dată în spaţiul vectorial V, i se asociază o matrice simetrică (antisimetrică).

Teoremă. Dacă $\Omega \in M_n (\mathbf K) \!$ este matricea de trecere de la baza B la baza B', în spaţiul vectorial V_n, iar A, A' sunt matricele asociate formei biliniare g în raport cu cele două baze, atunci $A' = {}^t \Omega A \Omega. \!$

Rangul matricei A defineşte rangul formei biliniare g. Acesta este un invariant la schimbarea de bază. În aceste condiţii, se justifică noţiunea de formă biliniară nedegenerată (degenerată), ca fiind acea formă biliniară $g: V \times V \rightarrow K \!$ a cărei matrice A, în raport cu o bază B a spaţiului vectorial V, este nedegenerată (degenerată).

Discriminantul unei forme biliniare simetrice[]

Fie f o formă biliniară simetrică pe un spațiu vectorial E (de dimensiune finită). Fie B o bază a lui E. Numim discriminant al lui f în baza B determinantul matricei lui f în B.

Dacă $B' \!$ este o altă bază a lui E, iar P este matricea de trecere de la $B\!$ la $B' \!$ şi $M, M' \!$ sunt matricele respective ale lui f în $B\!$ şi $B', \!$ atunci $M'={}^tPMP. \!$