FANDOM


Fie V un spațiu vectorial peste corpul K.

Definiţie. Se numeşte formă biliniară pe spaţiul vectorial V o aplicație $ g: V \times V \rightarrow K, \! $ care satisface condiţiile:

1) $ g(\alpha x + \beta y, \; z) = \alpha g(x, z) + \beta g (y, z); \! $
2) $ g(x, \; \alpha y + \beta y) = \alpha g(x, y) + \beta g (x, z); \! $

$ \forall x, y, z \in V \! $ şi $ \forall \alpha, \beta \in K. \! $

Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicaţie $ g: V \times V \rightarrow K, \! $ liniară în ambele argumente.


Exemplul 1. Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial $ \mathbb R^n. \! $

$ \langle , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n, \! $ având în baza canonică $ B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! $ expresia analitică $ \langle x, y \rangle = x_1y_2 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n, \! $ este o formă biliniară.


Mulţimea formelor biliniare definite pe spaţiul vectorial V formează un spaţiu vectorial peste K, în raport cu operaţiile de adunare şi înmulțire a funcțiilor.


Definiţie. O formă biliniară $ g: V \times V \rightarrow K \! $ se numeşte

a) simetrică dacă $ g(x, y) = g(y, x), \; \forall x, y \in V; \! $
b) antisimetrică dacă $ g(x, y) = - g (y, x), \; \forall x, y \in V. \! $


Fie $ V_n \! $ un spațiu vectorial n-dimensional, $ B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! $ o bază în spaţiul vectorial $ V_n \! $ şi doi vectori oarecare $ x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \! $ şi $ y = \sum_{i=1}^n y_i e_i. \! $

Expresia formei biliniare g, pentru vectorii x şi y, va fi dată de:

$ g(x, y) = g (\sum_{i=1}^n x_i e_i, \; y) = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, y) = \! $
$ = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, \; \sum_{j=1}^n y_j e_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n y_j g(e_i, e_j) = \! $
$ = \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i y_j. \! $

unde s-a notat: $ a_{ij} = g(e_i, e_j), \; i, j = 1, 2, \cdots , n. \! $

Am obţinut:

$ g(x, y) = \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i y_j, \! $

care este expresia analitică a formei biliniare g, iar matricea $ A=(a_{ij}) \! $ se numeşte matricea formei biliniare g în raport cu baza B.

A este o matrice simetrică: $ {}^t A = A. \! $ Dacă X (respectiv Y) reprezintă matricea coordonatelor lui x (respectiv y) în baza B, atunci egalităţile precedente se scriu ca nişte relaţii între matrici:

$ g(x, y) = {}^t X AY, \; \; \! $

Corespondenţa prin care fiecărei forme biliniare g i se asociază o matrice pătratică A, este un izomorfism de spaţii vectoriale. În plus, unei forme biliniare simetrice (antisimetrice), într-o bază dată în spaţiul vectorial V, i se asociază o matrice simetrică (antisimetrică).


Teoremă. Dacă $ \Omega \in M_n (\mathbf K) \! $ este matricea de trecere de la baza B la baza B', în spaţiul vectorial V_n, iar A, A' sunt matricele asociate formei biliniare g în raport cu cele două baze, atunci $ A' = {}^t \Omega A \Omega. \! $


Rangul matricei A defineşte rangul formei biliniare g. Acesta este un invariant la schimbarea de bază. În aceste condiţii, se justifică noţiunea de formă biliniară nedegenerată (degenerată), ca fiind acea formă biliniară $ g: V \times V \rightarrow K \! $ a cărei matrice A, în raport cu o bază B a spaţiului vectorial V, este nedegenerată (degenerată).


Discriminantul unei forme biliniare simetrice Edit

Fie f o formă biliniară simetrică pe un spațiu vectorial E (de dimensiune finită). Fie B o bază a lui E. Numim discriminant al lui f în baza B determinantul matricei lui f în B.

Dacă $ B' \! $ este o altă bază a lui E, iar P este matricea de trecere de la $ B \! $ la $ B' \! $ şi $ M, M' \! $ sunt matricele respective ale lui f în $ B \! $ şi $ B', \! $ atunci $ M'={}^tPMP. \! $

În particular:

$ disc(f,B')=disc(f,B) \times (det \; P)^2. \! $

Astfel dacă E este un$ \mathbb R \! $- spațiu vectorial, semnul discriminantului formei biliniare simetrice pe E nu depinde de baza aleasă.


Vezi şi Edit

Resurse Edit