Fandom

Math Wiki

Formă biliniară

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie V un spațiu vectorial peste corpul K.

Definiţie. Se numeşte formă biliniară pe spaţiul vectorial V o aplicație g: V \times V \rightarrow K, \! care satisface condiţiile:

1) g(\alpha x + \beta y, \; z) = \alpha g(x, z) + \beta g (y, z); \!
2) g(x, \; \alpha y + \beta y) = \alpha g(x, y) + \beta g (x, z); \!

\forall x, y, z \in V \! şi \forall \alpha, \beta \in K. \!

Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicaţie g: V \times V \rightarrow K, \! liniară în ambele argumente.


Exemplul 1. Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial \mathbb R^n. \!

\langle , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n, \! având în baza canonică B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! expresia analitică \langle x, y \rangle = x_1y_2 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n, \! este o formă biliniară.


Mulţimea formelor biliniare definite pe spaţiul vectorial V formează un spaţiu vectorial peste K, în raport cu operaţiile de adunare şi înmulțire a funcțiilor.


Definiţie. O formă biliniară g: V \times V \rightarrow K \! se numeşte

a) simetrică dacă g(x, y) = g(y, x), \; \forall x, y \in V; \!
b) antisimetrică dacă g(x, y) = - g (y, x), \; \forall x, y \in V. \!


Fie V_n \! un spațiu vectorial n-dimensional, B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! o bază în spaţiul vectorial V_n \! şi doi vectori oarecare x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \! şi y = \sum_{i=1}^n y_i e_i. \!

Expresia formei biliniare g, pentru vectorii x şi y, va fi dată de:

g(x, y) = g (\sum_{i=1}^n x_i e_i, \; y) = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, y) =   \!
= \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, \; \sum_{j=1}^n y_j e_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n y_j g(e_i, e_j) =  \!
= \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j. \!

unde s-a notat: a_{ij} = g(e_i, e_j), \; i, j = 1, 2, \cdots , n. \!

Am obţinut:

g(x, y) = \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j, \!

care este expresia analitică a formei biliniare g, iar matricea A=(a_{ij}) \! se numeşte matricea formei biliniare g în raport cu baza B.

A este o matrice simetrică: {}^t A = A. \! Dacă X (respectiv Y) reprezintă matricea coordonatelor lui x (respectiv y) în baza B, atunci egalităţile precedente se scriu ca nişte relaţii între matrici:

g(x, y) = {}^t X AY, \; \;  \!

Corespondenţa prin care fiecărei forme biliniare g i se asociază o matrice pătratică A, este un izomorfism de spaţii vectoriale. În plus, unei forme biliniare simetrice (antisimetrice), într-o bază dată în spaţiul vectorial V, i se asociază o matrice simetrică (antisimetrică).


Teoremă. Dacă \Omega \in M_n (\mathbf K) \! este matricea de trecere de la baza B la baza B', în spaţiul vectorial V_n, iar A, A' sunt matricele asociate formei biliniare g în raport cu cele două baze, atunci A' = {}^t \Omega A \Omega. \!


Rangul matricei A defineşte rangul formei biliniare g. Acesta este un invariant la schimbarea de bază. În aceste condiţii, se justifică noţiunea de formă biliniară nedegenerată (degenerată), ca fiind acea formă biliniară g: V \times V \rightarrow K \! a cărei matrice A, în raport cu o bază B a spaţiului vectorial V, este nedegenerată (degenerată).


Discriminantul unei forme biliniare simetrice Edit

Fie f o formă biliniară simetrică pe un spațiu vectorial E (de dimensiune finită). Fie B o bază a lui E. Numim discriminant al lui f în baza B determinantul matricei lui f în B.

Dacă B' \! este o altă bază a lui E, iar P este matricea de trecere de la B \! la B' \! şi M, M' \! sunt matricele respective ale lui f în B \! şi B', \! atunci M'={}^tPMP. \!

În particular:

disc(f,B')=disc(f,B) \times (det \; P)^2. \!

Astfel dacă E este un\mathbb R \!- spațiu vectorial, semnul discriminantului formei biliniare simetrice pe E nu depinde de baza aleasă.


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki