FANDOM


Fie V un spațiu vectorial peste corpul K.

Definiţie. Se numeşte formă biliniară pe spaţiul vectorial V o aplicație g: V \times V \rightarrow K, \! care satisface condiţiile:

1) g(\alpha x + \beta y, \; z) = \alpha g(x, z) + \beta g (y, z); \!
2) g(x, \; \alpha y + \beta y) = \alpha g(x, y) + \beta g (x, z); \!

\forall x, y, z \in V \! şi \forall \alpha, \beta \in K. \!

Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicaţie g: V \times V \rightarrow K, \! liniară în ambele argumente.


Exemplul 1. Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial \mathbb R^n. \!

\langle , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n, \! având în baza canonică B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! expresia analitică \langle x, y \rangle = x_1y_2 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n, \! este o formă biliniară.


Mulţimea formelor biliniare definite pe spaţiul vectorial V formează un spaţiu vectorial peste K, în raport cu operaţiile de adunare şi înmulțire a funcțiilor.


Definiţie. O formă biliniară g: V \times V \rightarrow K \! se numeşte

a) simetrică dacă g(x, y) = g(y, x), \; \forall x, y \in V; \!
b) antisimetrică dacă g(x, y) = - g (y, x), \; \forall x, y \in V. \!


Fie V_n \! un spațiu vectorial n-dimensional, B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! o bază în spaţiul vectorial V_n \! şi doi vectori oarecare x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \! şi y = \sum_{i=1}^n y_i e_i. \!

Expresia formei biliniare g, pentru vectorii x şi y, va fi dată de:

g(x, y) = g (\sum_{i=1}^n x_i e_i, \; y) = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, y) =   \!
= \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, \; \sum_{j=1}^n y_j e_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n y_j g(e_i, e_j) =  \!
= \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j. \!

unde s-a notat: a_{ij} = g(e_i, e_j), \; i, j = 1, 2, \cdots , n. \!

Am obţinut:

g(x, y) = \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j, \!

care este expresia analitică a formei biliniare g, iar matricea A=(a_{ij}) \! se numeşte matricea formei biliniare g în raport cu baza B.

A este o matrice simetrică: {}^t A = A. \! Dacă X (respectiv Y) reprezintă matricea coordonatelor lui x (respectiv y) în baza B, atunci egalităţile precedente se scriu ca nişte relaţii între matrici:

g(x, y) = {}^t X AY, \; \;  \!

Corespondenţa prin care fiecărei forme biliniare g i se asociază o matrice pătratică A, este un izomorfism de spaţii vectoriale. În plus, unei forme biliniare simetrice (antisimetrice), într-o bază dată în spaţiul vectorial V, i se asociază o matrice simetrică (antisimetrică).


Teoremă. Dacă \Omega \in M_n (\mathbf K) \! este matricea de trecere de la baza B la baza B', în spaţiul vectorial V_n, iar A, A' sunt matricele asociate formei biliniare g în raport cu cele două baze, atunci A' = {}^t \Omega A \Omega. \!


Rangul matricei A defineşte rangul formei biliniare g. Acesta este un invariant la schimbarea de bază. În aceste condiţii, se justifică noţiunea de formă biliniară nedegenerată (degenerată), ca fiind acea formă biliniară g: V \times V \rightarrow K \! a cărei matrice A, în raport cu o bază B a spaţiului vectorial V, este nedegenerată (degenerată).


Discriminantul unei forme biliniare simetrice Edit

Fie f o formă biliniară simetrică pe un spațiu vectorial E (de dimensiune finită). Fie B o bază a lui E. Numim discriminant al lui f în baza B determinantul matricei lui f în B.

Dacă B' \! este o altă bază a lui E, iar P este matricea de trecere de la B \! la B' \! şi M, M' \! sunt matricele respective ale lui f în B \! şi B', \! atunci M'={}^tPMP. \!

În particular:

disc(f,B')=disc(f,B) \times (det \; P)^2. \!

Astfel dacă E este un\mathbb R \!- spațiu vectorial, semnul discriminantului formei biliniare simetrice pe E nu depinde de baza aleasă.


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki