FANDOM


Miscare pe un plan inclinat
Parcurs 2 drumuri

Lucrul mecanic, puterea Edit

(Vezi articolele: Lucru mecanic, Putere)

Vom studia principalele mărimi mecanice care definesc mişcarea unui punct material. În final, vom introduce o clasă specială, importantă, de forţe: forţele conservative.

Fie P un punct material de masă m, având vectorul de poziţie $ x(t ). \! $

Definim vectorul impuls al punctului P prin egalitatea:

$ \vec p = m \dot {\vec x}(t). \! $

Dimensiunea fizică a impulsului este $ MLT^{-1}. \! $

Fiind dat un punct O, drept originea reperului inerţial la care se raportează mişcarea, vom defini momentul cinetic al punctului material P în raport cu polul O a fi vectorul:

$ \vec K_0 = \vec x \times \vec p = \vec x \times (m \dot {\vec x}), \; \vec x = \overrightarrow {OP}. \! $


Este evident că momentul cinetic reprezintă momentul impulsului faţă de polul O. Dimensiunea sa fizică este $ ML^2T^{-1}. \! $ A treia mărime fundamentală a dinamicii punctului material este energia cinetică. Definim energia cinetică a unui punct material P a fi scalarul, dat de relaţia:

$ E_c = \frac 1 2 m \dot {\vec x}^2. \! $

Dimensiunea sa fizică este $ ML^2T^{-2}. \! $

În fine, definim lucrul mecanic efectuat de o forţă $ \vec F, \! $ care deplasează punctul material P, având vectorul de poziţie $ \vec x = \overrightarrow{OP} \! $ de-a lungul unei curbe date, între punctele A şi B, a fi scalarul definit de integrala curbilinie:

$ L_{AB} = \int_{\overset {\frown}{AB}} \vec F \cdot d \vec x. \! $

Mărimea scalară $ d \mathit L = \frac {d \mathit L}{d \mathit t} = \vec F \cdot \dot {\vec x}. \! $

defineşte puterea mecanică.

Dimensiunea fizică a lucrului mecanic este $ ML^2T^{-2}, \! $ iar unitatea sa de măsură se numeşte joule (simbolul J). 1 joule reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forţă de 1 newton la o deplasare de 1 metru.

Dimensiunea fizică a puterii mecanice este $ ML^2T^{-3}, \! $ unitatea sa de măsură fiind watt-ul (simbol W). 1 watt reprezintă puterea necesară efectuării unui lucru mecanic de 1 joule într-o secundă.

Definire forţă conservativă Edit

Un câmp de forţe $ \vec F(x) \! $ se numeşte conservativ (potenţial) dacă există un câmp scalar $ \Pi (x) \! $ astfel încât:

$ \vec F(x) = \mathit{grad} \Pi (x). \! $

În acest caz, lucrul mecanic efectuat de forţa $ \vec F \! $ între punctele A şi B nu depinde de drumul $ \overset{\frown}{AB}, \! $ ci numai de capetele lui:

$ L_{AB} = \int_{\overset{\frown}{AB}} \vec F \cdot d \vec x = \int_{\overset{\frown}{AB}} \mathit {grad} \Pi (x) \cdot d \vec x = \int_{\overset{\frown}{AB}} d \Pi (x) = \Pi (B) - \Pi (A). \! $


Reciproc, dacă vom presupune că lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs (adică este o funcţie de stare), atunci putem defini potenţialul $ \Pi (x) \! $ al forţei $ \vec F \! $ prin formula:

$ \Pi (x) = \int_{\overset{\frown}{x_0x}} \vec F \cdot d \vec x, \! $   (1)

unde $ \vec x_0 \! $ este vectorul de poziţie al punctului iniţial, iar $ \vec x(t) \! $ este vectorul de poziţie al punctului curent. Se obţine uşor relaţia:

$ \mathit{grad} \Pi (x) = \vec F (\vec x). \! $   (2)
A block of mass m
A spring on a rough table

În concluzie, un câmp de forţe este conservativ dacă şi numai dacă lucrul mecanic este o funcţie de stare.

Dacă drumul este închis ($ A=B \! $ ), este evident că rezultatul precedent se reduce la condiţia:

$ \int_{\gamma} \vec F \cdot d \vec x = \Pi (B) - \Pi (A), \! $

unde $ \gamma \! $ este un drum închis, care conţine punctul A. Din teorema lui Stokes rezultă că relaţia precedentă este echivalentă cu:

$ \mathit{rot} \vec F =0, \! $

adică $ \vec F \! $ este un câmp irotaţional de forţe. Acest rezultat este valabil pentru un domeniu simplu conex şi pentru un câmp de forţe regulat $ ( \vec F \in [\mathcal C^1 (\mathbb R)]^3 \! $ şi $ \Pi \in \mathcal C^2(\mathbb R) \; ). \! $

Exemple de forţe conservative Edit

Greutatea Edit

Greutatea unui punct material de masă m, $ G = mg. \! $ În raport cu un reper cartezian, care are axa Oz orientată după verticala ascendentă,

$ G = −mgk , \! $

unde g este acceleraţia gravitaţională, presupusă a fi constantă, iar k este versorul axei Oz. În acest caz potenţialul forţei gravitaţionale va avea forma:

$ \Pi = -mgz + \mathcal C \! $

unde $ \mathcal C \! $ este o constantă scalară arbitrară.

Forţele centrale Edit





Lucrul mecanic elementar efectuat de forţe pentru deplasarea punctului P din pozitia A in pozitia B, foarte apropiata, este dat de relatia:

Schita pentru deducerea expresiei lucrului mecanic

Schita pentru deducerea expresiei lucrului mecanic

$ dW = \vec F \cdot d \vec r = F dr \cos (\vec F, d \vec r) \! $   (1.1)

Considerand un arc de traiectorie limitat de punctele P1 si P2 vom spune ca lucrul mecanic efectuat prin deplasarea punctului material intre pozitiile P1 si P2 este:

$ W_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec F \cdot d \vec r \! $   (1.2)

Se poate demonstra că:

$ W_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec F \cdot d \vec r = \frac {mv^2_{P_1}}{2} - \frac {mv^2_{P_2}}{2} = T_2 - T_1 \! $   (1.3)

unde cu T s-a notat energia cinetică:

$ T = \frac {mv^2}{2} \! $   (1.4)

Definitie.Forta conservativa este denumita acea forta care are proprietatea ca lucrul mecanic efectuat de ea la deplasarea punctului material intre doua pozitii nu depinde de traiectoria urmata.


Fie o astfel de situatie, in care punctul material se poate deplasa intre doua pozitii A si B pe doua traiectorii 1 si 2 (vezi fig.). Atunci lucrul mecanic efectuat de forta conservativa prin deplasarea pe cele doua traiectorii va fi :

Schita pentru demonstrarea proprietatii de conservativitate

Fișier:Schita pentru demonstrarea proprietatii de conservativitate

$ W_{A1B} = \int_{A1B} \vec F \cdot \vec r \! $   (1.5)
$ W_{A2B} = \int_{A2B} \vec F \cdot \vec r \! $   (1.6)

Dar conform cu cele precizate mai sus:

$ W_{A1B} = W_{A2B} \! $   (1.7)

sau

$ \int_{A1B} \vec F \cdot \vec r - \int_{A2B} \vec F \cdot \vec r =0 \! $   (1.8)

sau

$ \oint \vec F \cdot d \vec r=0 $   (1.9)

Forţele conservative provin dintr-un potenţial:

$ \vec F = - \nabla V = - \frac {dV}{d \vec r} \! $   (1.10)

Functia scalara V este energia potentiala a punctului material.

In consecinta, se poate scrie:

$ W_{12}= \int_{P_1}^{P_2} (- \frac {dV}{d \vec r}) d \vec r = \int_{P_1}^{P_2} (-d V) = V_1 - V_2 \! $   (1.11)

Rezultă:

$ \int_A^B \vec F d \vec r = V_A- V_B \! $   (1.12)
$ V_B = V_A - \int_A^B \vec F d \vec r \! $   (1.13)

Relatia (1.13) arata ca energia potentiala intr-un punct oarecare B se poate determina in functie de valoarea energiei intr-un alt punct A - luat ca referinta. Daca acest punct este plasat la infinit si se considera (de regula) ca $ V_{\infty} \rightarrow 0 \! $, atunci vom avea ca :

$ V (\vec r) = - \int_{\infty}^{r} \vec F \cdot d \vec r \! $   (1.14)

Potentialul unui punct de vector de pozitie este determinat de lucrul mecanic efectuat de forte conservativa pentru a deplasa punctul material din punctul de referinta respectiv la infinit.


Resurse Edit