Fandom

Math Wiki

Forță conservativă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Miscare pe un plan inclinat.gif
Parcurs 2 drumuri.gif

Lucrul mecanic, puterea Edit

(Vezi articolele: Lucru mecanic, Putere)

Vom studia principalele mărimi mecanice care definesc mişcarea unui punct material. În final, vom introduce o clasă specială, importantă, de forţe: forţele conservative.

Fie P un punct material de masă m, având vectorul de poziţie x(t ). \!

Definim vectorul impuls al punctului P prin egalitatea:

\vec p = m \dot {\vec x}(t). \!

Dimensiunea fizică a impulsului este MLT^{-1}. \!

Fiind dat un punct O, drept originea reperului inerţial la care se raportează mişcarea, vom defini momentul cinetic al punctului material P în raport cu polul O a fi vectorul:

\vec K_0 = \vec x \times \vec p = \vec x \times (m \dot {\vec x}), \; \vec x = \overrightarrow {OP}. \!


Este evident că momentul cinetic reprezintă momentul impulsului faţă de polul O. Dimensiunea sa fizică este ML^2T^{-1}. \! A treia mărime fundamentală a dinamicii punctului material este energia cinetică. Definim energia cinetică a unui punct material P a fi scalarul, dat de relaţia:

E_c = \frac 1 2 m \dot {\vec x}^2. \!

Dimensiunea sa fizică este ML^2T^{-2}. \!

În fine, definim lucrul mecanic efectuat de o forţă \vec F, \! care deplasează punctul material P, având vectorul de poziţie \vec x = \overrightarrow{OP} \! de-a lungul unei curbe date, între punctele A şi B, a fi scalarul definit de integrala curbilinie:

L_{AB} = \int_{\overset {\frown}{AB}} \vec F \cdot d \vec x. \!

Mărimea scalară d \mathit L = \frac {d \mathit L}{d \mathit t} = \vec F \cdot \dot {\vec x}. \!

defineşte puterea mecanică.

Dimensiunea fizică a lucrului mecanic este ML^2T^{-2}, \! iar unitatea sa de măsură se numeşte joule (simbolul J). 1 joule reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forţă de 1 newton la o deplasare de 1 metru.

Dimensiunea fizică a puterii mecanice este ML^2T^{-3}, \! unitatea sa de măsură fiind watt-ul (simbol W). 1 watt reprezintă puterea necesară efectuării unui lucru mecanic de 1 joule într-o secundă.

Definire forţă conservativă Edit

Un câmp de forţe \vec F(x) \! se numeşte conservativ (potenţial) dacă există un câmp scalar \Pi (x) \! astfel încât:

\vec F(x) = \mathit{grad} \Pi (x). \!

În acest caz, lucrul mecanic efectuat de forţa \vec F \! între punctele A şi B nu depinde de drumul \overset{\frown}{AB}, \! ci numai de capetele lui:

L_{AB} = \int_{\overset{\frown}{AB}} \vec F \cdot d \vec x = \int_{\overset{\frown}{AB}} \mathit {grad} \Pi (x) \cdot d \vec x = \int_{\overset{\frown}{AB}} d \Pi (x) = \Pi (B) - \Pi (A).  \!


Reciproc, dacă vom presupune că lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs (adică este o funcţie de stare), atunci putem defini potenţialul \Pi (x) \! al forţei \vec F \! prin formula:

\Pi (x) = \int_{\overset{\frown}{x_0x}} \vec F \cdot d \vec x, \!   (1)

unde \vec x_0 \! este vectorul de poziţie al punctului iniţial, iar \vec x(t) \! este vectorul de poziţie al punctului curent. Se obţine uşor relaţia:

\mathit{grad} \Pi (x) = \vec F (\vec x). \!   (2)
A block of mass m.jpeg
A spring on a rough table.jpeg

În concluzie, un câmp de forţe este conservativ dacă şi numai dacă lucrul mecanic este o funcţie de stare.

Dacă drumul este închis ( A=B \! ), este evident că rezultatul precedent se reduce la condiţia:

\int_{\gamma} \vec F \cdot d \vec x = \Pi (B) - \Pi (A), \!

unde \gamma \! este un drum închis, care conţine punctul A. Din teorema lui Stokes rezultă că relaţia precedentă este echivalentă cu:

\mathit{rot} \vec F =0, \!

adică \vec F \! este un câmp irotaţional de forţe. Acest rezultat este valabil pentru un domeniu simplu conex şi pentru un câmp de forţe regulat ( \vec F \in [\mathcal C^1 (\mathbb R)]^3 \! şi \Pi \in \mathcal C^2(\mathbb R) \; ). \!

Exemple de forţe conservative Edit

Greutatea Edit

Greutatea unui punct material de masă m, G = mg. \! În raport cu un reper cartezian, care are axa Oz orientată după verticala ascendentă,

Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): G = −mgk , \!

unde g este acceleraţia gravitaţională, presupusă a fi constantă, iar k este versorul axei Oz. În acest caz potenţialul forţei gravitaţionale va avea forma:

\Pi = -mgz + \mathcal C \!

unde \mathcal C \! este o constantă scalară arbitrară.

Forţele centrale Edit





Lucrul mecanic elementar efectuat de forţe pentru deplasarea punctului P din pozitia A in pozitia B, foarte apropiata, este dat de relatia:

Schita pentru deducerea expresiei lucrului mecanic.jpg

Schita pentru deducerea expresiei lucrului mecanic

dW = \vec F \cdot d \vec r = F dr \cos (\vec F, d \vec r) \!   (1.1)

Considerand un arc de traiectorie limitat de punctele P1 si P2 vom spune ca lucrul mecanic efectuat prin deplasarea punctului material intre pozitiile P1 si P2 este:

W_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec F \cdot d \vec r \!   (1.2)

Se poate demonstra că:

W_{12} = \int_{P_1}^{P_2} \vec F \cdot d \vec r = \frac {mv^2_{P_1}}{2} - \frac {mv^2_{P_2}}{2} = T_2 - T_1 \!   (1.3)

unde cu T s-a notat energia cinetică:

T = \frac {mv^2}{2} \!   (1.4)

Definitie.Forta conservativa este denumita acea forta care are proprietatea ca lucrul mecanic efectuat de ea la deplasarea punctului material intre doua pozitii nu depinde de traiectoria urmata.


Fie o astfel de situatie, in care punctul material se poate deplasa intre doua pozitii A si B pe doua traiectorii 1 si 2 (vezi fig.). Atunci lucrul mecanic efectuat de forta conservativa prin deplasarea pe cele doua traiectorii va fi :

Schita pentru demonstrarea proprietatii de conservativitate.jpg

Fișier:Schita pentru demonstrarea proprietatii de conservativitate

W_{A1B} = \int_{A1B} \vec F \cdot \vec r \!   (1.5)
W_{A2B} = \int_{A2B} \vec F \cdot \vec r \!   (1.6)

Dar conform cu cele precizate mai sus:

W_{A1B} = W_{A2B} \!   (1.7)

sau

\int_{A1B} \vec F \cdot \vec r - \int_{A2B} \vec F \cdot \vec r =0 \!   (1.8)

sau

\oint \vec F \cdot d \vec r=0   (1.9)

Forţele conservative provin dintr-un potenţial:

\vec F = - \nabla V = - \frac {dV}{d \vec r} \!   (1.10)

Functia scalara V este energia potentiala a punctului material.

In consecinta, se poate scrie:

W_{12}= \int_{P_1}^{P_2} (- \frac {dV}{d \vec r}) d \vec r = \int_{P_1}^{P_2} (-d V) = V_1 - V_2 \!   (1.11)

Rezultă:

\int_A^B \vec F d \vec r = V_A- V_B \!   (1.12)
V_B = V_A - \int_A^B \vec F d \vec r \!   (1.13)

Relatia (1.13) arata ca energia potentiala intr-un punct oarecare B se poate determina in functie de valoarea energiei intr-un alt punct A - luat ca referinta. Daca acest punct este plasat la infinit si se considera (de regula) ca V_{\infty} \rightarrow 0 \!, atunci vom avea ca :

V (\vec r) = - \int_{\infty}^{r} \vec F \cdot d \vec r \!   (1.14)

Potentialul unui punct de vector de pozitie este determinat de lucrul mecanic efectuat de forte conservativa pentru a deplasa punctul material din punctul de referinta respectiv la infinit.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki