Fandom

Math Wiki

Fluid

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile repausului absolut al fluidelor Edit

În condiţiile repausului absolut al fluidelor, suma forţelor exterioare aplicate pe un domeniu oarecare închis trebuie să fie egală cu zero.

Ecuatiiile de repaus ale fluidelor 1.png

\vec P_n - \! presiune, efort de compresiune;
\rho - \! densitatea;
\vec f - \! forţa masică unitară
\vec n - \! versorul normalei exterioare al elementului de suprafaţă dS;
dA - \! aria elementului de suprafaţă dS;
dv - \! elementul de volum al dD.


\vec p_n= -p \cdot \vec n \!
dm= \rho dv \!
\int_D \rho \vec f dv - \int_S p \cdot \vec n \cdot dA = 0 \! (forma cea mai generală, integrală a repausului absolut)

Dar

\int_D p \cdot \vec n \cdot dA = \int_D grad \; p \cdot dv \; \; \Rightarrow \; \; \int_D (\rho \vec f - grad \; p) dv=0 \; \; \Leftrightarrow \; \; \int_D \Phi dv=0. \!

Aplicăm lema integralei nule:

\int_D \Phi dv =0 \;\; \Leftrightarrow \;\; \Phi=0 \;\; \Rightarrow \;\; \frac{1}{\rho} grad \; p = \vec f \!   (1)
\begin{cases} \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = f x \\ \\ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} = fy  \\ \\ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} = fz   \end{cases} \!   (ecuaţia lui Euler pentru repaus absolut sub formă de sistem de ecuaţii cu derivate parţiale)

Facem trecerea de la ecuaţia cu diferenţiale parţiale la o ecuație diferențială. Înmulţim relaţia (1) cu d \vec r \! (în sens fizic, această înmulţire spune că am trecut de la un bilanţ de forţe la un bilanţ energetic):

grad \; p \cdot d \vec r = dP \!
\frac{1}{\rho} dp = dP, \! unde \frac {1}{\rho} dp - \! diferenţiala funcţiei de presiune
p - presiunea
P - funcţia de presiune
f = - grad \pi \!

\pi \! este potenţialul forţelor masice, care se spune în acest caz că derivă dintr-un potențial.


În câmp gravitațional, forţele masice sunt potenţiale sau conservative.

- grad \pi \cdot d \vec r = - d \pi \; \; \Leftrightarrow \;\; dP+d \pi =0 \; \; \Rightarrow \;\; d(P + \pi)=0 \;\; \Rightarrow \; \; P+ \pi =const. \; \; \Rightarrow \; \; P= p_0+ \rho gh \!

Ecuaţia de presiune împreună cu energia potenţială de poziţie reprezintă un invariant, care înseamnă că energia mecanică totală a fluidului considerat în repaus.

Consecinţele repausului absolut al lichidelor în câmp gravitațional Edit

Ecuatiiile de repaus ale fluidelor 2.png

În cazul gazelor, se neglijează variaţia presiunii cu greutatea proprie pentru că densitatea gazelor este mult mai mică decât cea a lichidelor.

Pe baza relaţiei, vom discuta două consecinţe importante:

Principiul vaselor comunicante Edit

Suprafeţele echipotenţiale \pi = const. \! şi izobare (\rho = const. \!) sunt orizontale şi reciproc.

Principiul lui Pascal Edit

Într-un lichid incompresibil, orice variaţie de presiune se transmite practic instantaneu şi cu aceeaşi intensitate în toate direcţiile.

Principiul lui Pascal (fig).png

p = \frac{F_1}{A_1}= \frac{F_2}{A_2} \!

Această aplicaţie stă la baza amplificatoarelor de forţă. Aplicarea principiului este valabilă numai dacă neglijăm compresibilitatea lichidului.


Forţe de presiune pe suprafeţe plane Edit

Forte de presiune pe suprafete plane 1.png

Se consideră un perete plan înclinat cu unghiul \alpha \! faţă de orizontală şi un lichid de densitate \rho \! care acţionează de la stânga la dreapta. Se alege o porţiune de suprafaţă S. Se doreşte să se evalueze torsorul forţelor de presiune (rezultanta şi punctul de aplicaţie al acestia) în cazul cel mai general. Se rabate cu 90^{\circ} \! suprafaţa pe planul desenului.

\vec F_p= -\int_S p \cdot \vec n \cdot dA = - \rho \cdot g \cdot \vec n \int_S h \cdot dA, \!

dar

\sin \alpha = \frac h y \; \; \Rightarrow \; \; h = y \sin \alpha \; \; \Rightarrow \!
\Rightarrow \; \; \vec F_p= - \rho \cdot \sin \alpha \cdot \vec n \int_S y \; dA = - \rho g \sin \alpha \cdot y_G \cdot A \cdot \vec n \; \; \Rightarrow \; \; \vec F_p= - \rho \cdot g \cdot h_G \cdot A \cdot \vec n \!


p = \rho \cdot g \cdot h \!   (suprapresiunea în punctul considerat)


În expresia forţei nu apare explicit unghiul \alpha, \! este ca şi când, indiferent de orientarea suprafeţei, forţa s-ar calcula ca fiind datorată unui cilindru drept, având baza de arie A şi înălţimea h_G. \!

h_G -  \! adâncimea centrului de greutate al suprafeţei considerate
A - \! aria suprafeţei


Punctul de aplicaţie al rezultantei se numeşte centru de presiune (C).

\mathbf C \begin{cases} x_C= x_G+ \frac{I_{x'y'}}{y_G A} = \frac{I_{xy}}{y_G A} \\ \\ y_C = y_G + \frac{I_{x'}}{y_G A} = \frac{I_x}{y_G A} \end{cases} \!
I_{x'y'} -  \! moment de inerție centrifugal în raport cu sistemul central de axe Gx'y'
I_{x'} -  \! moment de inerţie axial calculat în raport cu axa Gx'

Se aplică teorema pentru deducerea acestor coordonate (Varignon): cuplul rezultantei este egal cu rezultanta cuplurilor.

\vec r_C \begin{cases} x_C \\ y_C \end{cases} \!
\vec r_C \times \vec F_p = \int_S \vec r \times d \vec F_p \!

Aplicaţie Edit

Forte de presiune pe suprafete plane 2.png

Care este cuplul pe care îl exercită în încastrare grinda?

h_G= 1\; m \!
F_p= \rho \cdot g \cdot h_G \cdot A = 10^3 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 20 = 2 \cdot 10^5 \; N \!
M = F_p \frac 1 3 h \!
\mathbf C \begin{cases} x_C=x_G=0 \\ y_C= y_G + \frac{I_{x'}}{y_GA} = \frac h 2 + \frac {\frac{lh^3}{12}}{\frac{h}{2} lh} \end{cases} \!

Când avem suprafeţe simple, axa Oy este axă de simetrie.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki