Fandom

Math Wiki

Fibrat vectorial

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O altă noţiune importantă în geometria diferenţială modernă este cea de fibrat vectorial. Teoria aplicaţiilor armonice, ca şi alte teorii, este dezvoltată în cadrul acestui formalism. În acest articol vom prezenta, pe scurt, câteva aspecte legate de fibratele vectoriale ce vor servi la studiul aplicaţiilor armonice.

Definiţia 1. Fie E şi M varietăţi diferenţiale, iar \pi : E \rightarrow M \! o aplicaţie netedă şi surjectivă. Tripletul \xi= (E, \pi, M) \! se numeşte fibrat vectorial dacă sunt satisfăcute condiţiile:

  i) oricare ar fi p \in M, \; \pi^{-1}(p) \! admite o structură de spaţiu vectorial de dimensiune n (n este acelaşi pentru fiecare \pi^{-1}(p) \!). \pi^{-1}(p) \! cu structura de spaţiu vectorial se notează F_p(\xi), \! sau F_p(E), \! sau F_p \!  \! dacă nu este pericol de confuzie.

  ii) oricare ar fi p \in M, \! există U deschisă în M,  \! p \in U,  \! şi există h: U \times \mathbb R^n \rightarrow \pi^{-1}(U) \! difeomorfism astfel încât:

    a) oricare ar fi q \in U \! şi oricare ar fi x \in \mathbb R^n, \; h(q, x) \in \pi^{-1}(q), \! adică \pi (h(q, x)) = q, \!

    b) oricare ar fi q \in U, \; h_q : \mathbb R^n \rightarrow F_q, \; h_q(x) = h(q, x), \! este un izomorfism liniar între \mathbb R^n \! cu structura uzuală de spaţiu vectorial şi F_q. \!


Varietatea E se numeşte varietate totală, M se numeşte varietate bază, \pi : E \rightarrow M \! se numeşte aplicaţia proprie, \pi^{-1}(p) \! este fibra din p, iar (U; h) \! se numeşte fibrat vectorial trivial.


Notăm că aplicaţia proiecţie este o submersie, iar dim \; E = dim \; M + dim \; F_p = m+n \! (dacă (U; \varphi)  = (U; x^1, x^2, \cdots , x^m) \! este o hartă locală pe M iar h: U \times \mathbb R^n \rightarrow \pi^{-1}(U) \! este o hartă vectorială pe M, atunci (\varphi \times 1_{\mathbb R^n}) \circ h^{-1}: \; \pi^{-1}(U) \rightarrow \varphi(U) \times \mathbb R^n \! este o hartă locală pe E).


Definiţia 2. O aplicaţie netedă s: M \rightarrow E \! se numeşte secţiune a lui \xi, \! sau E, dacă \pi \circ s = 1_M. \!


Mulţimea secţiunilor se notează C(\xi), \! sau C(E). \! C(E) \! se organizează ca spaţiu vectorial infinit dimensional.


Exemplul 1 (Fibratul vectorial trivial) Produsul M \times \mathbb R^n \! reprezintă un fibrat vectorial trivial. Într-adevăr, aplicaţia proiecţie este proiecţia pe primul factor \pi : M \times \mathbb R^n \rightarrow M, \; \pi (p, x) = p, \! iar structura de spaţiu vectorial a fibrei \pi^{-1}(p) = \{p\} \times \mathbb R^n \! este dată de:

t_1(p, x_1) + t_2 (p, x_2) = (p, t_1 x_1 + t_2 x_2). \!

Harta vectorială este h = 1_{M \times \mathbb R^n}. \!


Exemplul 2 (Fibratul tangent) Ştim că TM = \bigcup_{p \in M} T_pM \! se poate organiza ca o varietate diferenţială de dimensiune 2m, unde cu T_pM \! am notat spaţiul tangent la M în p \in M. \! Tripletul (TM, \pi, M), \! unde \pi : TM \rightarrow M \! este proiecţia canonică, reprezintă un fibrat vectorial: pe \pi^{-1}(p) = T_pM \! considerăm structura de spaţiu vectorial uzuală, iar dacă (U; \varphi)= (U; x^1, x^2, \cdots , x^m) \! este o hartă locală pe M atunci:

h: U \times \mathbb R^m \rightarrow \pi^{-1}(U) = \bigcup_{p \in U} T_pM, \; h(q, y) = y^i \left ( \frac {\partial}{\partial x^i} \right )_q \!

reprezintă o hartă vectorială.

Analog, (T^r_l (M), \pi, M) \! reprezintă un fibrat vectorial.

Fibrat vectorial 1.png Fibrat vectorial 2.png Fibrat vectorial 3.png Fibrat vectorial 4.png Fibrat vectorial 5.png Fibrat vectorial 6.png Fibrat vectorial 7.png Fibrat vectorial 8.png Fibrat vectorial 9.png Fibrat vectorial 10.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki