Accelerație

Definiţie[]

(din lat. acceleratio - "grabă") Acceleraţia este vectorul definit ca derivata vectorului viteză în raport cu timpul:

Acceleraţia reprezintă cresterea vitezei unui corp mobil in raport cu unitatea de timp. Schimbarea viteziei si/sau directiei unui corp produce acceleratie. Deceleratia este acceleratia negativa, adica scaderea vitezei. Unitatile de masura pentru acceleratie sunt (sistemul MKS) si (sistemul CGS).

Pentru a caracteriza variaţia in timp a vectorului viteză, se defineste o mărime fizică, denumită acceleraţie.

Suportul vectorului acceleraţie la un moment dat se află în planul osculator la traiectorie; în acelaşi plan, aflându-se de aceeaşi parte a tangentei ca şi versorul normalei principale.

Acceleraţiile tangenţială şi normală[]

Componentele acceleraţiei sunt:

acceleraţie tangenţială: de-a lungul tangentei la traiectorie, având expresia în funcţie de abscisa curbilinie s:

a_t = \ddot s \!

acceleraţie normală: de-a lungul normalei principale, având, în funcţie de abscisa curbiline, expresia:

a_n = \frac{\dot {s^2}}{\rho}, \!

unde $\rho\!$ este raza de curbură.

Avem una din formulele lui Frenet:

\frac{d \vec t}{d s} = \frac{d \vec t}{d \theta} \cdot \frac {d \theta}{ds}= \mathbf C \vec n = \frac {\vec n}{R} \!

unde:

s= coordonata curbilinie a mobilului;
$\vec t = \!$ versorul tangentei la traiectorie, în sensul creşterii arcului s (a nu se confunda cu timpul t!);
R= raza de curbură;
$d \theta= \!$ unghiul la centru (măsurat în radiani) al coardei de lungime $ds= 2R \sin \frac {d \theta }{2}. \!$
$\mathbf C = \frac {d \theta}{ds} = \!$ curbura (gradul de abatere a curbei de la o linie dreaptă)

De aici deducem:

\vec a = \dot {\vec v} = \dot {v \vec t} = \dot v \vec t + v \dot {\vec t} = \dot v \vec t + v \frac {d \vec t}{ds} \dot s = \!

= \dot v \vec t + \frac{v^2}{R} \vec n = a_t \vec t +a_n \vec n = \vec {a_t} + \vec {a_n} \!

şi obţinem relaţiile pentru acceleraţiile tangenţială şi normală:

a_t = \dot v = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = \ddot s, \!

a_n = \frac{v^2}{R}. \!

În mişcarea plană, utilizând coordonatele polare $(r, \theta) \!$ şi vectorii corespunzători $\vec e_r \!$ şi $\vec e_{\theta}, \!$ expresia acceleraţiei este:

\vec a=( \ddot r - r \dot {\theta}^2) \vec e_r + (2r \ddot \theta + r \ddot {\theta}) \vec e_{\theta} \!

Proiecţiile acceleraţiei pe $\vec e_r \!$ şi $\vec e_{\theta} \!$ , adică: $\ddot r - r \dot {\theta}^2 \!$ şi $2r \ddot \theta + r \ddot {\theta}, \!$ se numesc acceleraţie radială şi, respectiv, acceleraţie transversală. Factorul $\ddot {\theta} \!$ se numeşte "accelerație unghiulară" şi se măsoară în $\frac{rad}{sec^2}. \!$

Acceleraţia absolută a unui punct material, notată $\vec a_a, \!$ este acceleraţia punctului material în raport cu un sistem de referință fix şi este suma vectorială a:

acceleraţie relativă ( $\vec a_r \!$ ) acceleraţia calculată în mişcarea punctului material faţă de un reper mobil;

acceleraţie de transport ( $\vec a_t \!$ ) acceleraţia unui punct solidar cu reperul mobil;

acceleraţie Coriolis sau acceleraţie complementară ( $\vec a_c \!$ ) care este produsul vectorial dintre dublul vitezei unghiulare $\omega \!$ şi viteza relativă $\vec v_r. \!$

Avem deci:

\vec a_a = \vec a_r + \vec a_t + \vec a_c. \!

Acceleraţia medie[]

Ca si in cazul vitezei, se poate defini o acceleraţie medie si o acceleraţie instantanee. Acceleraţia medie este definită prin relaţia:

$\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}. \!$ (1)

Mărimea acceleraţiei medii a unui mobil care se deplasează intre două puncte, de exemplu, $P_1 \!$ si $P_2 \!$ (Fig.1) depinde de variaţia netă a vitezei in intervalul considerat. Pentru precizarea ratei de variaţie in timp a vitezei instantanee se introduce noţiunea de acceleraţia instantanee, definită prin relaţia:

Variatia vitezei in subintervalul i — Variaţia vitezei în subintervalul i este $\Delta v_i = a_i \cdot \Delta t_i \!$

\vec a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac {d \vec v}{dt}= \!

(2)

= \frac {d}{dt} \left ( \frac {d \vec r}{dt} \right ) = \frac {d^2 \vec r}{dt^2}. \!

(3)

Acceleraţia este un vector care are orientarea lui $\Delta \vec v. \!$ Ea reprezintă derivata de ordinul intai a vitezei in raport cu timpul, prin urmare, derivata de ordinul doi a vectorului de poziţie, $\vec r(t) \!$ in raport cu acelasi parametru.

Avand in vedere definiţiile acceleraţiei medii si ale acceleraţiei instantanee, (3) si (4), se poate exprima acceleraţia medie si sub forma:

\vec a_m= \frac {\Delta \vec v}{\Delta t} = \lim_{\Delta t_i \to 0} \frac {\sum_{i=1}^n \vec a_i \Delta t_i}{\sum_{i=1}^n \Delta t_i} = \frac {1}{\Delta t} \cdot \int_t^{t + \Delta t} \vec a dt. \!

(4)

Se poate introduce, ca si in cazul vitezei, o interpretare grafică. Pentru a determina variaţia de viteză a mobilului, in condiţiile in care acceleraţia nu este constantă, impărţim intervalul de timp in subintervale pe care acceleraţia isi păstrează valoarea constantă. Aria fiecărui dreptunghi cu inălţimea a si lăţimea $\Delta t_i \!$ reprezintă chiar variaţia de viteză mobilului in acest interval de timp. Sumand acum ariile tuturor dreptunghiurilor elementare, se obţine aria de sub curba vitezei (analog cu situaţia prezentată in cazul vitezei).

\Delta v = \int_t^{t+\Delta t} a dt = aria (ABCD). \!

(5)

Ca urmare, variaţia de viteză are semnificaţia ariei de sub curba a = a(t), in intervalul de timp finit considerat. Considerand momentul iniţial t = 0, la un moment final oarecare, relaţia de mai sus se poate scrie, in cazul general:

\vec v(t) = \vec v_0 + \int_0^t \vec a(t) dt, \!

(6)

unde $\vec v_0 \!$ reprezintă viteza iniţială a corpului. In cazul particular, in care acceleraţia este constantă, iar miscarea - unidimensională, relaţia (6) devine: