DEFINIŢIA 1.
O vecinătate a punctului este o mulțime care conţine un interval deschis ce conţine pe x: adică
Orice interval deschis care conţine pe x este o vecinătate pentru x.
Un interval deschis este vecinătate pentru orice x ce aparţine intervalului.
DEFINIŢIA 2.
Un punct este punct interior al mulţimii dacă există un interval deschis astfel încât
Un punct x al intervalului este un punct interior al mulţimii
DEFINIŢIA 3.
Interiorul unei mulţimi este mulţimea punctelor interioare ale lui A.
Interiorul mulţimii A se notează sau cu Dacă atunci
DEFINIŢIA 4.
Mulţimea este deschisă dacă
Orice interval deschis este o mulțime deschisă.
Mulţimea este deschisă, dacă şi numai dacă fiecare punct al ei este în mulţime cu o întreagă vecinătate.
Reuniunea unei familii de mulţimi deschise este o mulţime deschisă.
Intersecţia unui număr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisă.
Mulţimea numerelor reale şi mulţimea vidă
sunt mulţimi deschise.
DEFINIŢIA 5.
Mulţimea este închisă dacă complementara ei este deschisă.
Orice interval închis este o mulţime închisă.
Intersecţia unei familii de mulţimi închise este închisă.
Reuniunea unui număr finit de mulţimi închise este o mulţime închisă.
Mulţimea numerelor reale şi mulţimea vidă sunt mulţimi închise.
DEFINIŢIA 6.
Punctul este punct limită sau punct de acumulare al mulţimii
dacă orice vecinătate V a lui x conţine cel puţin un punct y din A care este diferit de x; şi
DEFINIŢIA 7.
Închiderea a mulţimii
este intersecţia tuturor mulţimilor închise care conţin mulţimea A.
Închiderea unei mulţimi A are următoarele proprietăţi:
dacă şi numai dacă A este mulţime închisă.
dacă şi numai dacă orice vecinătate V a lui x intersectează mulţimea A
DEFINIŢIA 8.
Mulţimea este mărginită dacă există astfel încât pentru orice
DEFINIŢIA 9.
Mulţimea este compactă dacă este mărginită şi închisă.
Orice interval închis este mulţime compactă.
Topologie pe ℝn[]
Notăm cu spaţiul euclidian n-dimensional.
Un punct din are n coordonate iar vectorul său de poziţie va fi notat cu
Astfel
Pentru putem folosi şi alte litere pentru coordonate; de exemplu pentru pentru etc.
Distanţa (euclidiană) dintre două puncte şi este dată de:
Discul (sau bila) deschis de centru şi rază este dat de mulţimea punctelor x din aflate faţă de la distanţă mai mică decât :
Corespunzător, bila închisă este:
Suprafaţa discului din se numeşte sfera din şi este dată de:
Spunem că mulţimea este deschisă dacă pentru orice element x din A există o bilă cu centrul în x conţinută în A.
Mulţimea se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă.
Spunem că punctul x este punct frontieră al mulţimii A dacă orice bilă cu centrul în x conţine atât puncte din A cât şi din complementara lui A.
Mulţimea punctelor frontieră ale mulţimii A poartă denumirea de frontiera lui A şi se notează
Este uşor de observat că
Vom spune că frontiera a mulţimii A este de clasă dacă în fiecare punct al frontierei există spaţiul tangent la A şi acesta variază continuu în raport cu punctul.
În acest caz vom mai spune că frontiera este netedă.
Mulţimea deschisă se numeşte conexă dacă oricare două puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonală inclusă în A.
O mulţime deschisă şi conexă din se numeşte domeniu.
În mod obişnuit (exceptând cazurile când se fac precizări speciale) pentru desemnarea unui domeniu vom folosi litera
Dacă este un domeniu din iar este o funcţie din clasa definim gradientul funcţiei u, notat şi sau funcţia cu valori vectoriale dată de:
Valoarea gradientului funcţiei u în punctul este un vector care are drept componente valorile derivatelor parţiale ale lui u în acest punct.
Ne putem imagina ca un câmp vectorial ce are ca elemente vectorii,
Câmpul vectorial este orientat în direcţia celei mai mari creşteri a lui u.
Dacă atunci u se numeşte potenţialul lui
Fie un câmp de vectori definit pe domeniul cu
Se numeşte divergenţa câmpului notat funcţia:
Spunem că este câmp vectorial solenoidal în dacă:
în
Dacă iar este un câmp vectorial de clasă rotorul lui notat este câmpul vectorial definit prin:
Observaţie.
(i) Noţiunile de divergenţă şi rotor au fost introduse de Maxwell
(ii) Se poate renunţa la săgeata () deasupra literei ce desemnează câmpul vectorial, afară de cazul când este pericol de confuzie.
Dacă este un n-uplu de funcţii continue în domeniul iar este o funcţie diferenţiabilă, definim derivata direcţională sau prin :
Dacă fiind versorul normalei exterioare la de componente atunci:
se numeşte derivata normală sau derivata după direcţia normalei exterioare la
Definiţia 10.
Fie şi
Se numeşte bilă deschisă (închisă) de centru a şi rază r mulţimea:
Cum pe mulţimea am introdus două norme şi rezultă că pe avem două tipuri de bile deschise (închise) şi anume: