Topologie

Topologie pe ℝ[]

DEFINIŢIA 1. O vecinătate a punctului $x \in \mathbb R^1 \!$ este o mulțime $V \subset \mathbb R^1 \!$ care conţine un interval deschis $(a, b) \subset \mathbb R^1 \!$ ce conţine pe x: adică $x \in (a, b) \subset V. \!$

Orice interval deschis care conţine pe x este o vecinătate pentru x. Un interval deschis este vecinătate pentru orice x ce aparţine intervalului.

DEFINIŢIA 2. Un punct $x \in \mathbb R^1 \!$ este punct interior al mulţimii $A \subset \mathbb R^1 \!$ dacă există un interval deschis $(a, b) \!$ astfel încât $x \in (a, b) \subset A. \!$

Un punct x al intervalului $(a, b) \!$ este un punct interior al mulţimii $(a, b). \!$

DEFINIŢIA 3. Interiorul unei mulţimi $A \subset \mathbb R^1 \!$ este mulţimea punctelor interioare ale lui A.

Interiorul mulţimii A se notează $Int(A) \!$ sau cu $\overset {\circ}{A} . \!$ Dacă $A=(a, b), \!$ atunci $\overset {\circ}{A} = (a, b) = A. \!$

DEFINIŢIA 4. Mulţimea $A \subset \mathbb R^1 \!$ este deschisă dacă $A = \overset {\circ}{A}. \!$

Orice interval deschis este o mulțime deschisă. Mulţimea $A \subset \mathbb R^1 \!$ este deschisă, dacă şi numai dacă fiecare punct al ei este în mulţime cu o întreagă vecinătate. Reuniunea unei familii de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Intersecţia unui număr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisă. Mulţimea numerelor reale $\mathbb R^1 \!$ şi mulţimea vidă $\empty \!$ sunt mulţimi deschise.

DEFINIŢIA 5. Mulţimea $A \subset \mathbb R^1 \!$ este închisă dacă complementara ei $\mathcal C_{\mathbb R^1} A \!$ este deschisă.

Orice interval închis $[a, b] \!$ este o mulţime închisă. Intersecţia unei familii de mulţimi închise este închisă. Reuniunea unui număr finit de mulţimi închise este o mulţime închisă. Mulţimea numerelor reale $\mathbb R^1 \!$ şi mulţimea vidă $\empty \!$ sunt mulţimi închise.

DEFINIŢIA 6. Punctul $x \in \mathbb R^1 \!$ este punct limită sau punct de acumulare al mulţimii $A \subset \mathbb R^1, \!$ dacă orice vecinătate V a lui x conţine cel puţin un punct y din A care este diferit de x; $y \neq x \!$ şi $y \in V \cap A. \!$

DEFINIŢIA 7. Închiderea $\overline A \!$ a mulţimii $A \subset \mathbb R^1 \!$ este intersecţia tuturor mulţimilor închise care conţin mulţimea A.

Închiderea unei mulţimi A are următoarele proprietăţi:

$\overline A \supset A; \; \overline {\overline A} = \overline A; \; \overline {A \cup B} = \overline A \cup \overline B; \!$

$\overline A = A\!$ dacă şi numai dacă A este mulţime închisă. $\!$

$x \in \overline A \!$ dacă şi numai dacă orice vecinătate V a lui x intersectează mulţimea A $(V \cap A \neq \empty ).\!$

DEFINIŢIA 8. Mulţimea $A \subset \mathbb R^1 \!$ este mărginită dacă există $m, M \in \mathbb R^1$ astfel încât $m \le x \le M \!$ pentru orice $x \in A. \!$

DEFINIŢIA 9. Mulţimea $A \subset \mathbb R^1 \!$ este compactă dacă este mărginită şi închisă.

Orice interval închis $[a, b] \!$ este mulţime compactă.

Topologie pe ℝⁿ[]

Notăm cu $\mathbb R^n \!$ spaţiul euclidian n-dimensional. Un punct din $\mathbb R^n \!$ are n coordonate $x_1, x_2, \cdots , x_n \!$ iar vectorul său de poziţie va fi notat cu $\mathbf x. \!$ Astfel $\mathbf x= (x_1, x_2, \cdots , x_n) . \!$ Pentru $n \in \{2, 3, 4 \} \!$ putem folosi şi alte litere pentru coordonate; de exemplu $(x, y)\!$ pentru $n=2, \; (x, y, z ) \!$ pentru $n=3 \!$ etc.

Distanţa (euclidiană) dintre două puncte $x = (x_1, x_2, \cdots , x_n) \!$ şi $y= (y_1, y_2, \cdots , y_n) \!$ este dată de:

d(x, y) = \left ( \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \right )^{1/2}. \!

Discul (sau bila) deschis de centru $x^0 \in \mathbb R^n \!$ şi rază $\rho >0 \!$ este dat de mulţimea punctelor x din $\mathbb R^n \!$ aflate faţă de $x^0 \!$ la distanţă mai mică decât $\rho\!$ :

B(x^0, \rho) = \{ x \; : \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) < \rho \}. \!

Corespunzător, bila închisă este:

\bar B(x^0, \rho) = \{ x \; : \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) \le \rho \}.  \!

Suprafaţa discului din $\mathbb R^n \!$ se numeşte sfera din $\mathbb R^n \!$ şi este dată de:

S(x^0, r) =  \{ x \; ; \; x \in \mathbb R^n, \; d(x, x^0) = \rho \}.  \!

Spunem că mulţimea $A \subset \mathbb R^n \!$ este deschisă dacă pentru orice element x din A există o bilă cu centrul în x conţinută în A. Mulţimea $A \subset \mathbb R^n \!$ se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă.

Spunem că punctul x este punct frontieră al mulţimii A dacă orice bilă cu centrul în x conţine atât puncte din A cât şi din complementara lui A. Mulţimea punctelor frontieră ale mulţimii A poartă denumirea de frontiera lui A şi se notează $\partial A. \!$

Este uşor de observat că $\partial B (x^0, \rho) = \partial \bar B (x^0, \rho) = S(x^0, \rho). \!$

Vom spune că frontiera $\partial A \!$ a mulţimii A este de clasă $\mathcal C^1 \!$ dacă în fiecare punct al frontierei există spaţiul tangent la A şi acesta variază continuu în raport cu punctul. În acest caz vom mai spune că frontiera este netedă.

Mulţimea deschisă $A \subset \mathbb R^n \!$ se numeşte conexă dacă oricare două puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonală inclusă în A. O mulţime deschisă şi conexă din $\mathbb R^n \!$ se numeşte domeniu. În mod obişnuit (exceptând cazurile când se fac precizări speciale) pentru desemnarea unui domeniu vom folosi litera $\Omega. \!$

Dacă $\Omega \!$ este un domeniu din $\mathbb R^n \!$ iar $u: \Omega \longrightarrow \mathbb R \!$ este o funcţie din clasa $\mathcal C^1(\Omega), \!$ definim gradientul funcţiei u, notat şi $grad \; u \!$ sau $\nabla u, \!$ funcţia cu valori vectoriale dată de:

grad \; u = \nabla u= \left ( \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2},  \cdots , \frac{\partial u}{\partial x_n} \right ). \!

Valoarea gradientului funcţiei u în punctul $x= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \Omega \!$ este un vector care are drept componente valorile derivatelor parţiale ale lui u în acest punct. Ne putem imagina $grad \; u \!$ ca un câmp vectorial ce are ca elemente vectorii, $grad \; u(x), \; x \in \Omega. \!$ Câmpul vectorial $\nabla u \!$ este orientat în direcţia celei mai mari creşteri a lui u. Dacă $\vec v= - \nabla u, \!$ atunci u se numeşte potenţialul lui $\vec v. \!$

Fie $\vec v= (v_1, v_2, \cdots , v_n) \!$ un câmp de vectori definit pe domeniul $\Omega, \; \Omega \subset \mathbb R^n \!$ cu $v_i \in \mathcal C^1 (\Omega), \; i = \overline{1, n}. \!$ Se numeşte divergenţa câmpului $\vec v, \!$ notat $div \; \vec v, \!$ funcţia:

div \; \vec v= \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2}+ \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n} . \!

Spunem că $\vec v\!$ este câmp vectorial solenoidal în $\Omega \!$ dacă:

div \; \vec v=0 \!

în

\Omega. \!

Dacă $n=3 \!$ iar $\vec v= (v_1, v_2, v_3) \!$ este un câmp vectorial de clasă $\mathcal C^1, \!$ rotorul lui $\vec v, \!$ notat $rot \; \vec v \!$ este câmpul vectorial definit prin:

rot \; \vec v = \left ( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3}, \; \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1}, \; \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2}  \right ). \!

Observaţie.

(i) Noţiunile de divergenţă şi rotor au fost introduse de Maxwell

(ii) Se poate renunţa la săgeata ( $\vec {} \!$ ) deasupra literei ce desemnează câmpul vectorial, afară de cazul când este pericol de confuzie.

Dacă $\lambda= (\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n) \!$ este un n-uplu de funcţii continue în domeniul $\Omega \!$ iar $u: \Omega \rightarrow \mathbb R \!$ este o funcţie diferenţiabilă, definim derivata direcţională $\partial_{\lambda} u \!$ sau $\frac{\partial u}{\partial \lambda} \!$ prin :

\frac{\partial u}{\partial \lambda} (x) = \lambda(x) \cdot \nabla u(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i(x) \cdot \frac{\partial u}{\partial x_i} (x) = \left ( \nabla u(x), \lambda(x) \right ). \!

Dacă $\lambda= \nu, \; \; \nu \!$ fiind versorul normalei exterioare la $\Omega, \!$ de componente $(\nu_1, \nu_2, \cdots , \nu_n), \!$ atunci:

\frac{\partial u}{\partial \nu} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} - \nu_i = (\nabla u, \nu) \!

se numeşte derivata normală sau derivata după direcţia normalei exterioare la $\Omega. \!$

Definiţia 10. Fie $a= (a_1, a_2, \cdots , a_n) \in \mathbb R^n \!$ şi $r>0. \!$ Se numeşte bilă deschisă (închisă) de centru a şi rază r mulţimea:

\mathbf B(a, r) = \{ x \in \mathbb R^n ; \; \| x-a \| <r \} \!

\left [ \mathbf {\breve B}(a, r) = \{ x \in \mathbb R^n ; \; \| x-a \| \le r \} \right ] . \!

Cum pe mulţimea $\mathbb R^n \!$ am introdus două norme $(\| \|_2 \!$ şi $\| \|_{\infty} ),\!$ rezultă că pe $\mathbb R^n \!$ avem două tipuri de bile deschise (închise) şi anume: