Teorema de medie a lui Cauchy

Augustin Louis Cauchy Ecuația Cauchy–Euler‎‎‎‎ Ecuațiile Cauchy-Riemann Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz Problema lui Cauchy Șir Cauchy Teorema de medie a lui Cauchy

Teorema lui Cauchy se mai numește și a doua teoremă a creșterilor finite sau a doua teoremă de medie. Face parte din categoria teoremelor de medie.

Enunț

Fie f și g două funcții, $f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb R, \!$ cu proprietățile:

• f și g continue pe $[a, b] \!$
• f și g derivabile pe $(a, b) \!$
• $g' (x) \neq 0, \; \forall x \in (a, b) \!$

Atunci $g(a) \neq g(b) \!$ și există cel puțin un punct $c \in (a, b) \!$ astfel încât:

$\frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}. \!$

$\!$

Demonstrație

Fie $h(x) = f(x) + k \cdot g(x); \!$ unde k este o constantă reală astfel încât $h(a) = h(b).\!$

$\Rightarrow f(a) + k \cdot g(a) = f(b) + k \cdot g(b) \!$

$\Rightarrow f(a) - f(b) = k \cdot g(b) - k \cdot g(a) \!$

$\Rightarrow f(a) - f(b) = k ( g(b) - g(a)) \!$

$\Rightarrow k=- \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}. \!$

Presupunem că $g(a) = g(b).\!$ Deoarece g este continuă pe $[a, b] \!$ și derivabilă pe $(a, b), \!$

$\Rightarrow \exists \!$ cel puțin un punct $c \in (a, b) \!$ astfel încât $g'(c) =0. \!$ Dar $g'(x) \neq 0 , \forall x \in (a,b). \!$

Observație

Dacă luăm $g(x) = x \!,$ obținem Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite).

Intepretare geometrică

Pantele celor două drepte sunt proproționale cu pantele tangentelor duse la graficul funcției în punctul c corespunzător.

Aplicații

Aplicația 1

Să se aplice teorema lui Cauchy în cazul funcțiilor:

$f: [2, 5] \rightarrow \mathbb R \!$

$f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+3}; & -2 \le <1 \\ \frac x 4 + \frac 7 4 ; & 1 \le x \le 5 \end{cases}$

$g: [-2, 5] \rightarrow \mathbb R, g(x)=x. \!$

Funcția g este continuă și derivabilă pe $[-2, 5] \!$ ca funcție elementară. f este derivabilă pe $[-2, 5]. \!$

Funcția f este derivabilă pe $[-2, 1) \!$ și $[1,5] \!$ ca funcție elementară. Se pune problema în $x=1. \!$

$f'_s(1) \lim_{x \to 1; x<1} \frac {f(x) - f(1)}{x-1} \ frac 1 4.$

$f'_d(1) \lim_{x \to 1; x>1} \frac {f(x) - f(1)}{x-1}= \frac 1 4$

Funcția f este continuă pe $[-2, 1) \!$ și $[1,5] \!$ ca funcție elementară. Se pune problema în $x=1. \!$

$\lim_{x \to 1; x<1} f(x) = \lim_{x \to 1; x<1} \sqrt{x+3} = 2. \!$

$\lim_{x \to 1; x>1} f(x) =\lim_{x \to 1; x>1} \frac {x+7}{4}=2. \!$

$g'(x) = 1 \neq 0 \!$

Conform teoremei lui Cauchy, există cel puțin un $c \in (-2, 5) \!$ astfel încât:

$\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(5) - f(2)}{g(5) - g(2)}. \!$

$f'(x)= \begin{cases} \frac {1}{2 \sqrt { x - 3}}; & x \in (-2, 1) \\ \frac 1 4; & x \in [1, 5) \end{cases}$

$g(x) = 1. \!$

$\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac 2 7. \!$

Cazul 1: $x \in (-2, 1) \!$

$\Rightarrow f'(c) = \frac {1}{2 \sqrt {c-3}}; \; g'(c) = 1 \; \Rightarrow \frac {1}{2 \sqrt {c-3}} = \frac 2 7. \!$

$4 \sqrt {c-3} = 7 \Rightarrow 16 (c-3)=49 \; \Rightarrow c= \frac {97}{16} \in (-2, 1). \!$

Cazul 2: $x \in (1, 5) \!$

$f'(c) = \frac 1 4 \Rightarrow \frac 1 4 = \frac 2 7 \!$ - Fals!!

$\Rightarrow c= \frac {97}{16}. \!$

f și g sunt derivabile pe $(1,e) \!$ ca funcții elementare.

$g'(x) = (2x-1)' = 2. \!$

Conform teoremei lui Cauchy, există cel puțin un punct $c \in (1, e) \!$ astfel încât $\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(e) - f(1)}{g(e) - g(1)} = \frac {1}{2e-2}. \!$

$f'(x) = \frac 1 x; \; g'(x)=2 \!$

$\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {1}{2c} = \frac {1}{2e-2} \; \Rightarrow \; 2c=2(e-1) \; \Rightarrow \; c=e-1. \!$

Vezi şi

• Proprietatea lui Darboux

Resurse

• SOSMath.com