Problema lui Cauchy

Augustin Louis Cauchy Ecuația Cauchy–Euler‎‎‎‎ Ecuațiile Cauchy-Riemann Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz Problema lui Cauchy Șir Cauchy Teorema de medie a lui Cauchy

Definiție

Se numește problema Cauchy pentru ecuația diferențială

$y' = f (x, y) \!$   (1)

și punctul$M_0 (x_0, y_0) \in D$, problema care constă în determinarea unei soluții $y= \phi (x), \; x \in I,$ , a ecuației diferențiale (19), care verifică condiția inițială:

$\phi (x_0) = y_0 \!$   (2)

Lema 1.1.1. Rezolvarea problemei Cauchy (1) - (2) este echivalentă cu rezolvarea ecuației integrale:

$y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f [t, y(t)] dt}, \; x \in I$   (3)

Demonstrație. Într-adevăr, dacă $y= \phi (x), \; x \in I,$ este soluție pentru problema Cauchy (1) - (2), atunci:

$\phi' (t) = f [t, \phi (t)], \; \forall \; t \in I$ și $\phi (x_0) = y_0. \!$

Integrând prima identitate, obținem:

$\phi (x) - \phi (x_0) = \int_{x_0}^x {\phi' (t) dt} = \int_{x_0}^x {f[t, \phi (t)]dt}, \; \forall \; x \in I,$ deci $y= \phi (x), \; x \in I,$ este

soluție pentru ecuația integrală (3).

Reciproc, dacă $y= \phi (x) , \; x \in I, \!$ , este soluție pentru ecuația integrală (3), atunci:

$\phi (x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f[t, \phi (t)] dt} , \; \forall \; x \in I.$

Evident $\phi (x_0) = y_0. \!$ Pe de altă parte, prin derivare obținem:

$\phi' (x) = f[x, \phi (x)], \; \forall x \; \in I ,$

deci $y= \phi (x) , \; x \in I, \!$ este soluție pentru problema Cauchy (19) - (20). $\Box \!$

Definiția 1.1.2. O funcție $f : D \subset \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \!$ se numește lipschitziană în raport cu y, în domeniul D, dacă există o constantă $L \ge 0 \!$ astfel încât $|f(x_1, y_1) - f (x_2, y_2)| \le L |y_1 - y_2| ,$ oricare ar fi punctele $(x_1, y_1) \!$ și $(x_2, y_2) \!$ din D.

Observația 1.1.2. Dacă mulțimea $D \subset \mathbb R^2$ este deschisă și convexă, $f \in \mathfrak C^{(1)} (D) \!$ și $\frac {\delta f}{\delta y} \!$ este mărginită pe D, atunci f este lipschitziană în raport cu y pe D.

Într-adevăr, fie M > 0 astfel încât

$f (x, y_1) - f (x, y_2) = \frac {\delta f} {\delta y} (x, \xi) (y_1 - y_2) ,$

unde $(x, \xi) \!$ este un punct interior pe segmentul de dreaptă inclus în D, de capete $(x, y_1) \!$ și $(x, y_2) \!.$ Așadar, avem:

$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le M |y_1 - y_2|, \; \forall \; (x, y_1)$ și $(x, y_2) \!$

din D, deci f este lipschitziană pe D.

Teorema 1.1.1. (Teorema de existență și unicitate)

Fie f o funcție reală continuă, definită pe dreptunghiul $\overline D = [ x_0 - a, x_0 + a ] \times [ y_0 - b, y_0 + b ] , \; a>0, \; b>0.$

Dacă f este lipschitziană în raport cu y, pe $\overline D \!$ atunci există o soluție unică $y = \phi (x), \; x \in I \subset (x_0 - a, x_0 + a) ,$ pentru problema Cauchy

$y' = f (x, y) , \; (x, y) \in D ,$

$y(x_0) = y_0. \!$

Demonstrație. Pentru început, vom arăta că există o soluție a problemei Cauchy.

Conform Lemei 1.1.1, aceasta revine la a arăta că există o soluție a ecuației integrale (21). Demonstrația se bazează pe metoda aproximațiilor succesive a lui Picard, care nu numai că stabilește existența soluției, dar ne dă și un procedeu de construcție (aproximativ) a acestei soluții. Cum f este continuă pe mulțimea compactă $\overline D \!$ , rezultă că f este mărginită pe $\overline D \!$. Fie M > 0 astfel încât $|f (x, y)| \le M , \; \forall \; (x, y) \in \overline D .$ Dacă notăm cu L constanta lui Lipschitz pe $\overline D \!$, atunci, pentru orice două puncte $(x, y_1) \!$ și $(x, y_2) \!$ din $\overline D \!$ , avem:

$| f (x, y_1) - f (x, y_2) | \le M |y_1 - y_2|.$   (4)

Fixăm un număr $\alpha \in (0, 1),$ notăm cu $h= \min \left \{ a, \frac b M, \frac {\alpha}{L} \right \}$ și cu I intervalul $[x_0 - h, x_0 +h ] \!$. Evident, $I \subset (x_0 - a, x_0 +a). \!$

Definim prima aproximație $y_1 = y_1 (x), \; x \in I ,$ astfel:

$y_1 (x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f (t, y_0) dt} , \; x \in I.$

Deoarece f este continuă, rezultă că y este continuă pe I. Pe de altă parte, pentru orice $x \in I \!$ , avem:

$| y_1 (x) - y_0 | \le \left | \int_{x_0}^x{|f(t, x_0)|dt} \right | \le M \left | \int_{x_0}^x {dt} \right | = M |x- x_0| \le Mh \le M \cdot \frac b M = b.$

Așadar, $y_1 : I \rightarrow [y_0 - b, y_0 + b],$ deci $(t, y_1(t)) \in \overline D , \; \forall \; t \in I.$

Construim aproximația a doua $y_2 = y_2 (x) \!$ astfel:

$y_2(x)=y_0 + \int_{x_0}^x {f(t, y_1 (t)) dt}, \; x \in I$

Din continuitatea funcțiilor f și $y_1 \!$, rezultă continuitatea lui $y_2 \!$. Observăm că:

$|y_2(x) - y_0| \le \left | \int_{x_0}^x {|f (t, y_1 (t))| dt} \right | \le M |x - x_0| \le Mh \le b,$

$y_2(x) \in [y_0 - b, y_0 + b], \; \forall \; x \in I$

sau $(t, y_2 (t)) \in \overline D, \; \forall \; x \in I$

În general, definim aproximația de ordinul n, astfel:

$y_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f (t, y_{n-1}(t)) dt}, \; x \in I$

și constatăm că $y_n \!$ este o funcție continuă pe I cu valori în intervalul $[y_0 - b, y_0 +b], \!$ deci $(t, y_2 (t)) \in \overline D, \; \forall \; x \in I.$

Procedeul continuă nedefinit.

șirul de funcții $y_n: I \rightarrow [y_0 - b, y_0 + b], \; n \in \mathbb N^*,$ definit prin formula (5), poartă numele de șirul aproximațiilor succesive.

Considerăm următoarea serie de funcții pe I:

$y_0 + (y_1 - y_0) + \cdots + (y_n - y_{n-1}) + \cdots$   (6)

și observăm că șirul sumelor sale parțiale $(s_n)_n \!$ este chiar $(y_n)_n, \!$

$s_n (x) = y_n (x), \; \forall \; x \in I$

Dacă vom arăta că seria (24) este uniform convergentă pe I, va rezulta că șirul $(y_n)_n \!$ este uniform convergent pe I. Folosind ipoteza că funcția f este lipschitziană pe $\overline D \!$ în raport cu y, avem:

$| y_2 (x) - y_1 (x) | = \left | \int_{x_0}^x | f(t, y_1 (t)) - f (t, y_0 (t)) | dt \right | \le L \left | \int_{x_0}^x {|y_1 (t) - y_0|dt} \right | \le$

$\le LM \left | \int_{x_0}^x {|t - x_0|dt} \right | = LM \frac {|x - x_0|^2}{2} \le \frac {LM}{2 !} h^2$

Așadar, avem:

$|y_2 (x) - y_1 (x)| \le \frac {LM}{2 !} |x - x_0|^2, \; \forall \; x \in I$   (7)

Folosind din nou faptul că f este lipschitziană și ținând seama de (7), rezultă:

$|y_3 (x) - y_2 (x)| = \left | \int_{x_0}^x {|t- x_0|^2} dt \right | = \frac {L^2 M}{3 \cdot 2!} |x - x_0|^3,$

deci:

$|y_3 (x) - y_2 (x) | \le \frac {L^2 M}{3!} |x - x_0|^3, \; \forall \; x \in I$   (8)

În general avem:

$|y_n (x) - y_{n-1} (x)| \le \frac {L^{n-1} M}{n!} |x - x_0|^n \le \frac {L^{n-1} M}{n!} h^n, \; \forall \; x \in I.$   (9)

Observăm că seria numerică $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {M \cdot L^{n-1}}{n !}$ este convergentă, așa cum rezultă din criteriul raportului:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {M \cdot L^n}{(n+1) !} h^{n+1} \cdot \frac {n!}{M \cdot L^{n-1} h^n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {Lh}{n+1} = 0 < 1$

Conform (9), seria de funcții (6) este majorată pe intervalul I de o serie numerică convergentă, deci seria (6) este uniform convergentă pe I, conform criteriului lui Weierstrass.

Așadar, am demonstrat că șirul aproximațiilor succesive (5) este uniform convergent pe intervalul I. Notăm cu $\phi\!$ limita acestui șir. Cum $y \overset{u}{\underset{I}{\rightarrow}} \phi \!$ și $y_n \!$ sunt funcții continue pe I, rezultă că $\phi\!$ este, de asemenea, continuă pe I.

Pe de altă parte, avem:

$\left | \int_{x_0}^x | f (t, y_{n-1}(t)) - f (t, \phi (t)) | dt \right | \le L \left | \int_{x_0}^x |y_{n-1}(t) - \phi (t)| dt \right | \le$

$\le L \| y_n- \phi \|_{\infty} \le Lh \cdot \| y_n - \phi \|_{\infty}$

unde am notat cu

$\| y_n - \phi \|_{\infty} = \sup \{ |y_{n-1}(x) - \phi (x) | ; \; x \in I \}.$

Faptul că $y \overset{u}{\underset{I}{\rightarrow}} \phi \!$ revine la a spune că:

$\lim \| y_n - \phi \|_{\infty}$

Din această observație și din (10) deducem că:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{x_0}^x f(t, \phi (t)) dt, \; \forall \; x \in I,$

deci $\phi\!$ este soluție pentru ecuația integrală (21) și cu aceasta am dovedit existența soluției problemei Cauchy.

Pentru a demonstra unicitatea acestei soluții, să presupunem ar mai exista o soluție $\psi \!$ astfel încât:

$\psi (x) = y_0 + \int_{x_0}^x f (t, \psi (t))dt , \forall \; x \in I.$

În continuare, pentru orice $x \in I \!,$ avem:

$| \phi (x) - \psi (x) | \le \left | \int_{x_0}^x | f(t, \phi (t)) - f(t, \psi (x)) | dt \right | \le$

$\le L \left | \int_{x_0}^x | \phi (t) - \psi (t) | dt \right | \le L \| \phi - \psi \|_{\infty} \cdot h.$

ținând seama de definiția lui h, deducem:

$\| \phi - \psi \|_{\infty} = \sup \{ | \phi(x) - \psi(x) |; x \in I \} \le L \| \phi - \psi \|_{\infty} \cdot \frac {\alpha}{L} = \alpha \cdot \| \phi - \psi \|_{\infty}.$

Cum $\alpha \in (0, 1) , \!$ această inegalitate nu este posibilă decât dacă $\| \phi - \psi \|_{\infty}$ deci dacă $\phi \equiv \psi$ și cu aceasta unicitatea este dovedită. $\Box \!$

Exemplul 1.1.6. Să se rezolve problema Cauchy

$y' = y , \; (x, y) \in D = \left [ - \frac 1 2 , \frac 1 2 \right ] \times \left [ \frac 1 2, \frac 3 2 \right ] ,$

$y(0)= 1 \!$

Avem $f(x, y) = y, \; (x, y) \in D, \; x_0 = 0, \; y_0= 1, \; a=b= \frac 1 2, \; M= \frac 3 2$ și $L = 1 \!$

Dacă alegem $\alpha = \frac 1 2,$ atunci $h= \min \left ( \frac 12, \frac 13, \frac 12 \right ) = \frac 13,$ deci $I= \left [ -\frac 13, \frac 13 \right ]$

șirul aproximațiilor succesive arată astfel:

$y_1(x)= 1+ \int_0^x 1 dt = 1+x,$

$y_2(x)= 1+ \int_0^x {1+t} dt = 1+x + \frac {x^2}{2},$

$y_3(x)= 1+ \int_0^x {1+t + \frac {t^2}{2}} dt = 1+x + \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3},$

$\cdots \cdots \cdots$

$y_n(x) = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \cdots + \frac {x^n}{n!}, \; x \in I,$

$\cdots \cdots \cdots$

Cum $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n}{n!}, \; \forall \; x \in \mathbb R,$ convergența seriei este uniformă și $(y_n)_n \!$ este șirul sumelor parțiale ale seriei, rezultă că $y \overset{u}{\underset{I}{\rightarrow}} \phi, \!$ unde $\phi (x) = e^x, \; x \in \mathbb R.$

Observația 1.1.2. În exemplul precedent am putut afla limita șirului aproximațiilor succesive. De regulă, acest lucru nu este posibil și de aceea se aproximează limita acestui șir cu aproximația de ordinul n, adică cu funcția $y_n \!$ definită în (5).

Exemplul 1.1.7. Să se rezolve problema Cauchy

$y' = x^2 + y^2, \; (x, y) \in D = (-1, 1)\times (-1, 1),$

$y(0) = 0$

Avem a = b = 1 , $x_0 = y_0 0.$ Dacă alegem $\alpha = \frac 12, \!$ atunci $h= \min \left ( 1, \frac 12, \frac 12 \right ) = \frac 12,$ deci $I = \left [ - \frac 12, \frac 12 \right ].$ șirul aproximațiilor succesive arată astfel:

$y_1 (x) = \int_0^x t^2 dt = \frac {x^2}{3},$

$y_2 (x) = \int_0^x \left ( t^2 + \frac {t^6}{9} \right ) dt = \frac {x^3}{3} + \frac {x^7}{63},$

$y_3 (x) = 1 + \int_0^x \left [ t^2 + \left ( \frac {t^3}{3} + \frac {t^7}{63} \right ) 62 \right ] dt = \frac {x^3}{3} + \frac {x^7}{63} + \frac {2 x^{11}}{2079} + \frac {x^{15}}{5935}, \; x \in I, \cdots$

Putem aproxima soluția problemei Cauchy cu $y_3 \!,$ deci

$\phi (x) \approx \frac {x^3}{3} + \frac {x^7}{63} + \frac {2 x^11}{2079} + \frac {x^15}{59535}, \; x \in \left [ -\frac 12, \frac 12 \right ]$

În continuare, vom evalua eroarea care se face în metoda aproximațiilor succesive.

Teorema 1.1.2. În condițiile și cu notațiile Teoremei 1.1.1, avem:

$|\phi (x - y_n (x)| \le \frac {M \cdot L^n h^{n+1}}{(n+1)!} e^{Lh}, \; \forall \; x \in I,$

unde $\phi\!$ este soluția exactă a problemei Cauchy, iar $y_n \!$ este aproximanta de ordinul n.

Demonstrație.

Din (9) deducem:

$| y_{n+p}(x) - y_n (x) | = | (y_n - y_{n+1}) + (y_{n+1} - y_{n+2}) + \cdots + (y_{n+p-1} - y_{n+p}) | \le$

$\le \frac {ML^n h^{n+1}}{(n+1)!} + \frac {M L^{n+1} h^{n+2}}{((n+2)!} + \cdots + \frac {M L^{n+p-1} h^{n+p}}{(n+p)!} =$

$= \frac {M L^n h^{n+1}}{(n+1)!} \left ( 1+ \frac {Lh}{n+2} + \frac {(Lh)^2}{(n+2)(n+3)} + \cdots + \frac {(Lh)^{p-1}}{(n+2) \cdots (n+p)} \right ) <$ $= \frac {ML^n H^{n+1}}{(n+1)!} ( 1+ \frac {Lh}{1!} + \frac {(Lh)^2}{2!} + \cdots + \frac {(Lh)^{p-1}}{(p-1)!} + \frac {(Lh)^p}{p!})$

Așadar, avem:

$|y_{n+p}(x) - y_n (x)| < \frac {ML^n h^{n+1}}{(n+1)!} \left ( 1+ \frac {Lh}{1!} + \frac {(Lh)^2}{2!} + \cdots + \frac {(Lh)^{p-1}}{(p-1)!} + \frac {(Lh)^p}{p!} \right ) , \; \forall \; x \in I.$

Trecând la limită după p $( p \rightarrow \infty ) \!$ în ultima inegalitate, obținem:

$| \phi (x) - y_n (x) | \le \frac {M \cdot L ^n h^{n+1}}{(n+1)!} e^{Lh}, \; \forall \; x \in I.$

QED

Definiția 1.1.3. Fie ecuația diferențială

$y'= f(x, y), \; (x, y) \in \Omega \subset \mathbb R^2.$

Presupunem, în plus, că în domeniul $\Omega \!$ sunt îndeplinite condițiile teoremei de existență și unicitate. Prin soluție generală a ecuației diferențiale (11) în domeniul $\Omega \!,$ se înțelege o familie de soluții $y= \phi(x, C), \; x \in I,$ unde C este o constantă arbitrară, cu proprietățile:

a) $(x, \phi (x, C)) \in \Omega, \; \forall C;$ b) $\frac {\delta \phi}{\delta x} = f [x, \phi (x, C)], \; \forall x\in I, \; \forall C;$ c) Pentru orice punct $(x_0, y_0) \in \Omega ,$ există o constantă unică C₀ astfel încât

$\phi (x_0, y_0) = y_0. \!$

Exemplul 1.1.8. Soluția generală a ecuației diferențiale $y' =1 , \; (x, y) \in \mathbb R,$ este $y= x + C, \; x \in \mathbb R,$ unde C este o constantă reală oarecare. Într-adevăr, în acest caz $f(x, y) = 1, \; \forall (x, y) \in \mathbb R^2$ și este evident că sunt îndeplinite condițiile de existență și unicitate din Teorema 1.1.1. Pe de altă parte, avem $(x + C)' = 1 \!$ și $\forall (x_0, y_0) \in \mathbb R^2$ există o constantă unică $C_0 = y_0 - x_0 \!$ astfel încât $y_0 = x_0 + C_0 \!$

Definiția 1.1.4. Prin soluție particulară a ecuației diferențiale (29) se înțelege o soluție a sa obținută din soluția generală a ecuației (29), prin particularizarea constantei C.

În exemplul 1.1.8, pentru $C_1 = 0, \; C_2 = 1, \; C_3 = -1$ etc, obținem soluțiile particulare $y_1 = x, \; y_2 = x+1, \; y_3 = x-1$ etc.

Observația 1.1.3. Teorema 1.1.1 are un caracter local, în sensul că, dacă într-o vecinătate a punctului $M(x_0, y_0) \!$ funcția f este continuă și lipschitziană în raport cu y (în particular, are derivata parțială în raport cu y mărginită), atunci problema Cauchy admite o singură soluție a cărei curbă integrală trece prin punctul M.

Observația 1.1.4. De regulă, soluția generală nu se obține sub formă explicită din Definiția 1.1.3, ci trebuie gândită ca soluția implicită $y= \phi (x, C) \!$ definită de ecuația $\Phi (x, y, C) = 0 \!$ obținută prin integrarea ecuației diferențiale (29). Ecuația $\Phi (x, y, C) = 0 \!$ se mai numește și integrala generală (sau completă) a ecuației diferențiale (29). Ecuația $\Phi (x, y, C_0) = 0 \!$ obținută prin particularizarea constantei C, se mai numește și integrală particulară.

Definiția 1.1.5. Se numește soluție singulară a unei ecuații diferențiale, o soluție a acestei ecuații care are proprietatea că, în orice punct al curbei sale integrale, nu sunt satisfăcute condițiile de unicitate.

Aceasta revine la a spune că pentru orice punct $(x_0, y_0) \!$ al curbei integrale a acestei soluții, există o altă soluție a ecuației diferențiale, a cărei curbă integrală trece prin acest punct și este diferită de aceasta. Din Definiția 1.1.5 deducem că soluțiile singulare se caută în punctele unde nu sunt satisfăcute condițiile Teoremei 1.1.1. Dacă f este continuă, atunci soluțiile singulare trebuie căutate în punctele unde f nu este lipschitziană, de exemplu, în punctele unde $\frac {\delta y}{\delta y} \!$ nu este mărginită.

Exemplul 1.1.9. Fie ecuația diferențială

$y' = 3 y^{\frac 2 3}, \; (x, y) \in \mathbb R^2.$

Avem $f(x, y) = 3 y^{\frac 2 3}, \; \forall (x, y) \in \mathbb R^2.$ Evident, f este continuă pe $\mathbb R^2 \!.$ Cum $\frac {\delta y}{\delta y} = 2 y ^{\frac 1 3},$ rezultă că $\frac {\delta f}{\delta y}$ nu este mărginit pe axa Ox (y = 0). Pe de altă parte, este evident că y = 0 este o soluție a ecuației (12). Așadar, y = 0 este o soluție singulară a ecuației (12).

Fie $\Omega = \mathbb R^2 \setminus \{ (x, 0); x \in \mathbb R \}.$ Soluția generală a ecuației (12) în $\Omega \!$ este $y = (x+ C)^3 \!,$ cum se verifică imediat. Fie (a , 0) un punct oarecare de pe axa Ox.

Prin acest punct trece soluția singulară y = 0 și soluția particulară $y= (x-a)^3, \; x \in \mathbb R.$

Din punct de vedere geometric, curba integrală a soluției singulare este înfășurătoarea familiei de curbe integrale ale soluției generale.

Metoda lui Euler

Determinarea soluției exacte a problemei lui Cauchy nu este posibilă decât în anumite cazuri. De exemplu, determinarea soluției exacte a ecuației diferențiale aparent simplă:

$y' = x^2 + y^2, \; y(0) = 1, \!$

nu este posibilă.

Se justifică astfel necesitatea recurgerii la metode numerice (aproximative) pentru rezolvarea problemei Cauchy. Metodele numerice constau în alegerea unor noduri echidistante $x_k, \; k \in \mathbb N, \!$ și determinarea unor valori aproximative $y_k \!$ ale soluției exacte $y=y(x) \!$ în aceste noduri, deci $y_k \approx y(x_k). \!$

În cele ce urmează, prezentăm cea mai simplă metodă directă de rezolvare a problemei Cauchy și anume metoda lui Euler.

Fie problema Cauchy $\begin{cases} y' = f(x, y) \\ & (x, y) \in D= [x_0 - a, x_0+a] \times [y_0-b, y_0 + b ]. \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$

Presupunem că $f \in \mathfrak C^{(1)} ,\!$ deci f este continuă, $\frac {\partial f}{\partial y} \!$ este continuă și deci mărginită pe D. În aceste condiții, f este lipschitziană în raport cu y pe D, deci sunt îndeplinite condițiile teoremei de existență și unicitate. Așadar, problema lui Cauchy considerată are o soluție unică $y= y(x), \; x \in I \subset [x_0-a, x_0+a], \!$ cu proprietățile:

$y'(x) = f(x, y(x)), \; \forall x \in I, \!$

$y(x_0) = y_0. \!$

Deoarece $y'(x_0) = f(x_0, y_0), \!$ rezultă că ecuația tangentei în punctul $M_0(x_0, y_0)\!$ la curba integrală a acestei soluții, este:

$y=y_0 + f(x_0, y_0)(x-x_0). \!$

Considerăm nodurile echidistante $x_k = x_0 +kh, \; h>0, \; k=\overline {1, n}, \; x_k \in I, \!$ și notăm cu $y_1= y_0 + f(x_0, y_0) (x_1-x_0) \!$ (vezi figura 1).

Fig. 1

Aproximăm soluția exactă $y=y(x) \!$ a problemei Cauchy, în punctul $x_1, \!$ cu soluția aproximativă $y_1 \!$. Așadar

$y(x_1) \approx y_0 + f(x_0, y_0) (x_1 - x_0) = y_0 + f(x_0, y_0) \cdot h. \!$

În continuare, considerăm dreapta

$y =y_1 + f(x_1, y_1) (x -x_1) \!$

și aproximăm soluția exactă $y=y(x) \!$ a problemei Cauchy, în punctul $x_2, \!$ cu

$y_2 =y_1 + f(x_1, y_1) (x_2-x_1), \!$

deci $y(x_2) \approx y_1 + f(x_1, y_1) \cdot h \!$ etc.

Se obține următorul algoritm:

$\begin{cases} y_k= y_{k-1} + h \cdot f(x_{k-1}, y_{k-1}) \\ & , k \ge 1 \\ y_0 = y(x_0) \end{cases}$   (1)

Pentru estimarea erorii, folosim formula Taylor. Presupunând că $f \in \mathfrak C ^{(2)}(D), \!$ avem:

$y(x_k) = y(x_{k-1} + h) = y(x_{k-1}) + y' (x_{k-1}) \cdot h + o (h^2). \!$

Cum $y'(x_{k-1}) = f(x_{k-1}, y_{k-1}), \!$ rezultă că

$y(x_k)= y(x_{k-1}) + h \cdot f(x_{k-1}, y_{k-1}) + o(h^2). \!$   (2)

Din (1) și (2) deducem că:

$y(x_k) -y_k = y(x_{k-1}) - y_{k-1} +o(h^2).\!$

Prin urmare, eroarea la pasul k se obține din eroarea la pasul precedent, k-1, la care se adaugă un infinit mic de ordinul $2(o(h^2)). \!$

Exemplul 1.6.1. Fie problema Cauchy:

$\begin{cases} y' = y^2 - \frac y x - \frac {1}{4x^2} \\ y(1) = \frac 1 2 \end{cases}$

Să se determine soluția aproximativă în punctul $x=2, \!$ în doi pași.

În acest caz, avem: $f(x, y) = y^2 - \frac y x - \frac {1}{4x^2}, \!$

$x_0=1, \; y_0= 0,5, \; n=2, \; x_1= 1,5, \; x_2=2, \!$

$y_1= y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 0,25, \!$

$y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 0,14236. \!$

Așadar $y_2 \approx 0,14236. \!$

Pe de altă parte, observăm că ecuația diferențială considerată este o ecuație de tip Riccati, care admite soluția particulară $y_p = \frac {1}{2x}. \!$ Cum această soluție satisface condiția inițială $y(1)= \frac 1 2, \!$ rezultă că $y= \frac {1}{2x} \!$ este soluția exactă a problemei Cauchy considerate.

Valoarea soluției exacte în punctul 2, este $y(2) = \frac 1 4 = 0,25. \!$ Se obține o eroare destul de mare $y(2)- y_2 \cong 0,1. \!$ Dacă foloseam mai mulți pași, deci alegeam un pas h mai mic, obțineam o eroare mai mică, deci mai bună.

Resurse

• Wolfram MathWorld
• Curs (copie la Wikia)
• Matematici speciale (p. 115)
• Rezolvare numerică a problemei Cauchy