Calcul vectorial

Sa se studieze variația rezultantei compuneria 2 vectori in functie de modificarea punctelor dintre directiile lor

Derivarea vectorilor

(Vezi articolul: Derivata unui vector)

Să considerăm un vector, $\vec A (s), \!$ exprimat ca o funcţie de o mărime scalară, s. În coordonate carteziene, $\vec A(s) \!$ se va scrie sub forma:

$\vec A = A_x (s) \hat x + A_y (s) \hat y + A_z(s) \hat z. \!$   (A.53)

Derivata vectorului $\vec A\!$ în raport cu scalarul s poate fi scrisă în acelaşi mod ca şi derivata unei funcţii scalare, adică:

$\frac {d \vec A}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac {\vec A(s + \Delta s) - \vec A(s)}{\Delta s} \!$   (A.54)

În cazul în care funcţia scalară s este timpul, derivata vectorului $\vec A\!$ va fi:

$\frac {d \vec A}{dt} = \frac {d A_x}{dt} \hat x + \frac {d A_y}{dt} \hat y + \frac {d A_z}{dt} \hat z \!$   (A.55)

Dacă mărimea $\vec A\!$ reprezintă vectorul de poziţie al unui mobil, derivata lui $\vec A\!$ în raport cu timpul reprezintă viteza instantanee a mobilului.

Regulile de calcul a derivatei unei mărimi vectoriale, $\vec A ,\!$ în raport cu o mărime scalară generică, s, vor fi:

$\frac {d}{ds} (\vec A \pm \vec B) = \frac {d \vec A}{ds} \pm \frac {d \vec B}{ds}; \!$   (A.56)

$\frac {d}{ds} [f(s) \vec A(s)] = \frac {df}{ds} \vec A + f \frac {d \vec A}{ds}; \!$   (A.57)

$\frac {d}{ds} (\vec A \cdot \vec B) = \frac {d \vec A}{ds} \cdot \vec B + \vec A \cdot \frac {d \vec B}{ds}; \!$   (A.58)

$\frac {d}{ds} (\vec A \times \vec B) = \frac {d \vec A}{ds} \times \vec B + \vec A \times \frac {d \vec B}{ds}. \!$   (A.59)

Toate aceste regului vor fi folosite în cadrul cinematicii şi dinamicii punctului material şi ale sistemelor de puncte materiale.

Integrarea vectorilor

Calculul integralei vectorului $\vec a\!$ de-a lungul conturului $\Gamma \!.$

Să menţionăm, pentru început, că în matematică se defineşte o funcţie scalară de variabilă vectorială, de forma:

$u(\vec r) = u(x, y, z) \!$   (A.60)

şi o funcţie vectorială de variabilă vectorială, de forma:

$\vec a (\vec r) = \vec a (x, y, z) = a_x (x, y, z) \hat x + a_y (x, y, z) \hat y + a_z (x, y, z) \hat z. \!$   (A.61)

Ambele funcţii sunt definite în orice punct descris de vectorul de poziţie $\vec r \!$ şi, în cele două relaţii scrise anterior, sunt exprimate în sistemul de referinţă cartezian $(x, y, z). \!$

Să considerăm o curbă, $\Gamma, \!$ în spaţiul în care este definită în orice punct funcţia vectorială $\vec a. \!$ Integrala funcţiei vectoriale $\vec a\!$ de-a lungul curbei $\Gamma, \!$ se numeşte circulaţia vectorului $\vec a\!$ de-a lungul curbei $\Gamma, \!$ şi se defineşte ca:

$\int_{\Gamma} (a_x dx + a_y dy + a_z dz), \!$   (A.62)

unde $d \vec r \!$ reprezintă o variaţie infinitezimală a vectorului de poziţie. În coordonate carteziene:

$d \vec r = dx \cap x + dy \cap y + dz \cap z. \!$   (A.63)

Putem exprima, de asemenea, relaţia (A.62) în funcţie de distanţa curbilinie $ds, \!$ măsurată de-a lungul curbei $\Gamma \!$ (Fig. A.8). Dacă notăm cu $\theta \!$ unghiul dintre direcţia lui $\vec a\!$ şi tangenta la curba $\Gamma \!$ în orice punct, atunci:

$\int_{\Gamma} \vec a \cdot d \vec r = \int_{\Gamma} a \cos \theta ds. \!$   (A.64)

Operatori vectoriali diferenţiali

Operatorii vectoriali diferenţiali permit exprimarea locală (punctuală) a legilor fizicii. Ei pot fi exprimaţi cu ajutorul operatorului diferenţial notat $\vec \nabla \!$ şi denumit nabla. Expresia concretă a lui $\nabla \!$ este în funcţie de sistemul de coordonate utilizat. În coordonate carteziene, operatorul $\nabla \!$ are expresia:

$\vec \nabla = \hat x \frac {\partial}{\partial x} + \hat y \frac {\partial}{\partial y} + \hat z \frac {\partial}{\partial z}. \!$   (A.65)

Operatorul

$\vec \nabla \cdot \vec \nabla = \nabla^2 = (\hat x \frac {\partial}{\partial x} + \hat y \frac {\partial}{\partial y} + \hat z \frac {\partial}{\partial z}) \cdot (\hat x \frac {\partial}{\partial x} + \hat y \frac {\partial}{\partial y} + \hat z \frac {\partial}{\partial z}) \!$   (A.66)

$= (\frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2}) \!$   (A.67)

se numeşte operatorul Laplace sau laplaceian.

În funcţie de modul în care $\nabla \!$ se aplică unei mărimi fizice, scalare sau vectoriale, se definesc trei operatori vectoriali distincţi:

• operatorul gradient - dacă $\nabla \!$ se aplică unei funcţii scalare;
• operatorul divergenţă - dacă $\nabla \!$ se înmulţeşte scalar cu o funcţie vectorială;
• operatorul rotor - dacă $\nabla \!$ se înmulţeşte vectorial cu o funcţie vectorială.

Expresiile operatorilor vectoriali depind de sistemul de coordonate în care se definesc. Pentru simplitate, vom considera în cele ce urmează doar sistemul cartezian, urmând ca expresiile operatorilor diferenţiali în alte sisteme de coordonate sa fie deduse şi utilizate mai târziu.

Operatorul gradient

Operatorul gradient se obţine prin aplicarea lui $\nabla \!$ unei funcţii scalare. Ca rezultat, se obţine o mărime vectorială. Să considerăm o funcţie scalară generică, $\phi = \phi (x, y, z) \!$ . În coordonate carteziene, expresia gradientului mărimii scalare $\phi\!$ este:

$\vec \nabla \phi = \vec grad \phi = \frac {\partial \phi}{\partial x} \hat x + \frac {\partial \phi}{\partial y} \hat y + \frac {\partial \phi}{\partial z} \hat z. \!$   (A.68)

Interpretarea fizică Să considerăm că valorile funcµiei scalare $\phi\!$ nu depind decât de coordonatele punctului în care aceasta se evaluează. Se defineşte noţiunea de suprafaţă de nivel constant (sau suprafaţă echi-potenţială (dacă funcţia $\phi\!$ reprezintă un potenţial), locul geometric al punctelor pentru care funcţia $\phi\!$ are aceeaşi valoare (Fig.A.9):

$\phi = \phi (x, y, z) =const. \!$   (A.69)

Figura A.10: Orientarea segmentului $\Delta s \!$ în raport cu un sistem de coordonate carteziene.

Variaţia funcţiei $\phi\!$ între două suprafeţe de nivel constant este:

$\Delta \phi = \phi_2 (x, y, z) - \phi_1 (x, y, z). \!$   (A.70)

Având în vedere că $\Delta \phi \!$ este o mărime dată, din Fig.A9. se constată că raportul $(\frac {\Delta \phi}{\Delta s}) \!$ depinde doar de orientarea segmentului $\Delta s. \!$

Se defineşte derivata după o direcţie a funcţiei scalare $\phi\!$ conform relaţiei:

$\frac {d \phi}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac {\Delta \phi}{\Delta s}. \!$   (A.71)

Dacă raportăm segmentul $\Delta s \!$ la un sistem de axe carteziene şi ţinem cont de faptul că funcţia $\phi\!$ depinde de variabila s prin intermediul coordonatelor $x, y, z, \!$ putem scrie:

$\frac {d \phi}{ds} = \lim_{{}^{\Delta s \to 0 }_{\Delta x, \Delta y, \Delta z \to 0}} (\frac {\Delta \phi}{\Delta x} \cdot \frac {\Delta x}{\Delta s} + \frac {\Delta \phi}{\Delta y} \cdot \frac {\Delta y}{\Delta s} + \frac {\Delta \phi}{\Delta z} \cdot \frac {\Delta z}{\Delta s}) \!$   (A.72)

Ţinând seama de relaţiile cosinusurilor directoare, relaţia anterioară se poate scrie sub forma:

$\frac {d \phi}{ds} = \frac {\partial \phi}{\partial x} \cos \alpha + \frac {\partial \phi}{\partial y} \cos \beta + \frac {\partial \phi}{\partial z} \cos \gamma \!$   (A.73)

unde:

$\cos \alpha = \lim_{\Delta s \to 0} \frac {\Delta x}{\Delta s}, \!$   (A.74)

$\cos \beta = \lim_{\Delta s \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta s}, \!$   (A.75)

$\cos \gamma = \lim_{\Delta s \to 0} \frac {\Delta z}{\Delta s}, \!$   (A.76)

Expresia (A.73) reprezintă rezultatul unui produs scalar:

$\frac {d \phi}{ds} = grad \phi \cdot \hat e_s, \!$   (A.77)

unde:

$grad \phi = \frac {\partial \phi}{dx} \hat x + \frac {\partial \phi}{dy} \hat y + \frac {\partial \phi}{dz} \hat z. \!$   (A.78)

sau:

$grad \phi = \cos \alpha \cdot \hat x + \cos \beta \cdot \hat y + \cos \gamma \cdot \hat z. \!$   (A.79)

iar $\hat e_s \!$ este versorul direcţiei $\Delta s. \!$

Mărimea vectorului gradient este:

$|grad \phi| = \sqrt {\left ( \frac {\partial \phi}{\partial x} \right )^2 + \left ( \frac {\partial \phi}{\partial y} \right )^2 + \left ( \frac {\partial \phi}{\partial z} \right )^2} \!$   (A.80)

Să considerăm, în continuare, o porţiune de dimensiuni infinitezimale a unui plan $(\pi), \!$ tangent în punctul P la suprafaţa de nivel constant $\phi = \phi (x, y, z) = const \!$ (Fig.A.11). Toate punctele din planul $(\pi), \!$ din imediata vecinătate a lui P, se vor caracteriza prin aproximativ aceeaşi valoare a lui $\phi\!$ şi, ca urmare:

$\Delta \phi \approx 0 \; \Rightarrow \; \frac {d \phi}{ds} = 0. \!$   (A.81)

Pentru orice direcţie din acest plan, caracterizată de versorii: $\hat e_{s1}, \hat e_{s2}, \!$ etc. vom avea:

$\frac {d \phi}{ds_1} = grad \phi \cdot \hat e_{s1} = 0; \!$   (A.82)

$\frac {d \phi}{ds_2} = grad \phi \cdot \hat e_{s2} = 0. \!$   (A.83)

Relaţiile anterioare sunt satisfăcute în condiţiile în care $grad \phi \!$ este orientat perpendicular pe oricare două direcţii din planul $(\pi) \!$. Direcţia gradientului este, aşadar, perpendiculară în orice punct pe suprafaţa $\phi = const, \!$ având orientarea normalei în punctul respectiv. Prin convenţie, s-a ales sensul vectorului $\nabla \phi \!$ ca fiind acela în care $\phi\!$ creşte. În concluzie, vectorul gradient este îndreptat în direcţia celei mai rapide creşteri în spaţiu a lui $\phi. \!$

Principalele proprietăţile ale gradientului sunt:

• este o funcţie vectorială definită într-un punct (funcţie de punct);
• indică direcţia şi sensul celei mai rapide creşteri în spaţiu a funcţiei scalare;
• are semnificaţia derivatei după acea direcţie pentru care funcţia scalară creşte cel mai rapid;
• este orientat perpendicular pe suprafeţele echipotenţiale $\phi = const., \!$ oricare ar fi mărimea fizică $\phi, \!$ căreia i se aplică.

Semnificaţia fizică a acestui operator a fost discutată amănunţit în legătură cu noţiunea de potenţial scalar-gravitaţional.

Vezi şi

• Produs vectorial
• Produs scalar
• Produs a doi vectori

Note

Analiză matematică Noţiuni de bază: Număr real, Topologie pe ℝ, Șir, Serie, Limită a unui șir, Funcție continuă Calcul diferențial: Derivată Calcul integral: Integrală, Integrală curbilinie (de prima speță, de speța a doua), Integrală de suprafață Calcul vectorial: Derivata unui vector, Derivată după un vector Calcul multivariabil: Topologie pe ℝn

Curs Calcul vectorial 0. Preliminarii 1. Spațiul euclidian 3. Diferențială 4. Derivată de ordin superior 5. Funcții vectoriale 6. Integrale duble și triple 7. Schimbarea de variabilă la integrale 8. Integrale pe drumuri și suprafețe 9. Teoreme integrale din analiza vectorială

Resurse

• Mecanica clasică, p. 306
• Calcul vectorial (copie la Wikia)
• Inner Products
• Lake Tahoe Community College