Legea lui Gauss

Karl Friedrich Gauss

Enunţ

Teorema lui Gauss este utilă in toate situaţiile legate de calculul intensităţii câmpului gravitaţional (sau electric), iar utilizarea ei conduce la simplificarea calculelor, asa cum vom vedea in cele ce urmează. După cum este cunoscut, intensitatea câmpului creat într-un punct situat la o distanţă r de o masă m, sau de o sarcină q este dat de relaţia:

Figura 1.: O suprafaţă gaussiană $\Sigma \!$ ce înconjoară o masă m.

Figura 2.: (a) Un detaliu bidimensional al zonei din jurul punctului P.

$\vec \Gamma (r) = - \gamma \frac {m}{r^2} \hat e_r, \!$   (1)

respectiv,

$\vec E = \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \frac {q}{r^2} \hat e_r \!$   (2)

Ne vom limita discuţia, în cele ce urmează, la cazul câmpului gravitaţional. Să considerăm o masă m plasată in interiorul unei suprafeţe închise de formă arbitrară care înconjoară această masă – sursă de câmp. Această suprafaţă (Fig. 1) se numeşte suprafaţă gaussiană.

Să considerăm, pe această suprafaţă $( \Sigma ) \!$ un element de suprafaţă $dS. \!$ Dacă atribuim suprafeţei elementare $dS \!$ un versor al normalei, $\hat n, \!$ orientat spre exterior, se spune că am vectorizat suprafaţa $dS. \!$ Ca mărime vectorială, aceasta poate fi scrisă sub forma:

$d \vec S = dS \cdot \hat n. \!$   (3)

Intensitatea câmpului gravitaţional din orice punct P de pe suprafaţa $dS \!$ are expresia (2). El se poate decompune în două componente, $\Gamma_n \!$ normală pe $dS \!$ şi, respectiv, $\Gamma_p, \!$ paralelă cu aceasta.

Fluxul vectorului $\Gamma \!$ prin suprafaţa $dS \!$ este:

$d \phi = (\vec \Gamma_p + \vec \Gamma_n) \cdot d \vec S = \vec \Gamma_p \cdot d \vec S + \Gamma_n \cdot d \vec S. \!$   (4)

Deoarece:

$\vec \Gamma_p \cdot d \vec S = \Gamma_p \cdot dS \cdot \cos (\Gamma_p , n) = \Gamma_p \cdot dS \cdot \cos 90^{\circ} = 0. \!$

rezultă că:

Carl Friedrich Gauss Dreapta Newton-Gauss‎‎‎‎ Formula Gauss-Ostrogradski Legea lui Gauss Metoda eliminării Gauss–Jordan Metoda Gauss-Seidel‎ Teorema d'Alembert-Gauss Integrala lui Gauss Descompunerea lui Gauss

$d \phi = \vec \Gamma_n \cdot d \vec S = \Gamma_n \cdot dS \cdot \cos 180^{\circ} = - \Gamma_n dS. \!$

cu $\Gamma_n = \Gamma \cos \theta. \!$

Aşadar:

$d \phi = - \Gamma \cos \theta \cdot dS = - \Gamma d S_n. \!$   (5)

sau:

$d \phi = \Gamma dS \cos \alpha (\Gamma, \hat n). \!$   (6)

cu $\alpha = 180^{\circ} - \theta. \!$

Având în vedere (vezi fig. 1 - 2) că $dS \cos \theta = dS_n, \!$ unde $dS_n \!$ reprezintă proiecţia lui $dS \!$ pe direcţia lui $\vec r \!$ (adică suprafaţa efectivă "văzută" de liniile de câmp divergente din m), în interiorul unghiului solid $d \Omega, \; d \phi \!$ poate fi scris sub forma:

$d \phi = \Gamma d S_n. \!$   (7)

Înlocuind acum pe $\Gamma \!$ în relaţia (7) vom găsi:

$d \phi = - \gamma \frac {m}{r^2} dS \cos \theta = - \gamma \frac {mdS_n}{r^2} = -\gamma md \Omega. \!$   (8)

Aplicaţie în electrostatică

Forma integrală

Forma integrală a teoremei lui Gauss se referă la fluxul vectorului intensităţii câmpului electric $\vec E\!$ printr-o suprafaţă închisă $\Sigma \!$:

$\Psi_E = \int_{\Sigma} \vec E d \vec s \!$   (9)

şi se deduce legea fluxului electric în formă integrală:

$\underset{S}{\grave O} \vec D d \vec s = Q \!$   (10)

şi din legea legăturii:

$\vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P \!$   (11)

unde $\vec P\!$ este polarizaţia electrică.

Se obţine:

$\underset{S}{\grave O} (e_0 \vec E + \vec P) d \vec s = Q\!$   (12)

Rezultă:

$\underset{S}{\grave O} \vec E d \vec s = \frac{1}{e_0} (Q + Q \not c) \!$   (13)

adică:

Fluxul vectorului intensităţii câmpului electric $\vec E, \!$ calculat pe o suprafaţă închisă $\Sigma, \!$ situată în câmpul electromagnetic în orice poziţie, la orice moment este proporţional cu suma algbrică a sarcinilor electrice adevărate şi de polarizare ce aparţin corpurilor din inetriorul suprafeţei, factorul de proporţionalitate fiind $\frac{1}{e_0}. \!$$

Forma diferenţială

Forma diferenţială (locală) a teoremei lui Gauss se obţine din forma integrală (13), în care se face înlocuirea:

$Q+Q' = \int_{V_{\Sigma}} (\rho_V + \rho'_V) dV \!$   (14)

şi, în condiţii de continuitate, efectuând transformarea de integrale G-O, rezultă:

$div \vec E = \frac{r_V+ r'_V}{e_0} \!$   (15)

În puncte ale unei suprafeţe de discontinuitate, încărcată cu sarcini electrice adevărate, având densitatea $\rho_s , \!$ şi cu sarcini electrice de polarizare, având densitatea $\rho'_s, \!$ teorema lui Gauss se scrie:

$div_s \vec E = \frac{r_V+ r'_V}{e_0} \!$   (16)

Resurse

• Mecanică clasică (p. 112)
• Gauss’ Law for Magnetism
• Gauss’ Law