Un spaţiu vectorial real (respectiv complex) este o mulţime pe care este definită o operaţie internă, notată prin simbolul + şi o operaţie de înmulţire cu elemente din (respectiv ) - numite scalari
Notăm prin ansamblul când mulţimea de scalari este fixată.
Elementele mulţimii se numesc vectori.
Adunarea vectorilor este comutativă asociativă mulţimea conţine elementul zero şi orice vector are asociat un vector opus
oricare ar fi
oricare ar fi
există vectorul astfel încât oricare ar fi
Pentru oricare există un unic vector (în mulţimea ), notat cu astfel încât:
Elementele mulţimii (respectiv ) se mai numesc scalari, deoarece descriu mărimi care nu depind de vreun sistem de referinţă.
Înmulţirea cu scalari asociază fiecărui vector şi fiecărui scalar (respectiv ), vectorul şi este supusă următoarelor axiome:
oricare ar fi (respectiv ) şi
, oricare ar fi (respectiv ) şi
oricare ar fi (respectiv )
oricare ar fi unde (respectiv )
Axiomele şi descriu faptul că înmulţirea vectorilor cu scalari este distributivă faţă de adunarea scalarilor , respectiv vectorilor.
Axioma indică un tip de asociativitate cu care are de-a face atât înmulţirea vectorilor cu scalari cât şi înmulţirea scalarilor.
În cadrul geometriei euclidiene, imaginea geometrică a unui vector este un segment de dreaptă pe care este definit un sens de la A la B.
Punctul A se numeşte originea vectorului sau punctul său de aplicaţie, iar punctul B este ectremitatea vectorului.
Vectorul AB, din punct de vedere geometric, este caracterizat prin: originea A, suportul definit de dreapta AB, sensul de parcurs de la A la B şi mărimea sau modulul vectorului, care este lungimea segmentului AB (notată ).
Un vector pentru care aceste elemente sunt fixate se numeşte vector legat.
În grafica pe calculator, se utilizează vectorii alunecători sau liberi, pentru care punctul de aplicaţie nu mai are un rol esenţial.
Mulţimea vectorilor de poziţie dintr-un plan, cu originea într-un punct al acestuia este spaţiul vectorial peste în raport cu adunarea vectorilor (după regula paralelogramului) şi înmulţirea vectorilor cu scalari.
Considerân mulţimea a tripletelor de numere reale se obţine un spaţiu vectorial definind:
şi
unde şi
Extinderea pentru mulţimea este imediată.
Mulţimea matricelor - cu m linii, n coloane şi elemente din mulţimea - este un spaţiu vectorial real (peste ) în raport cu adunarea matricelor şi înmulţirea matricelor cu scalari:
Mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, în nedeterminata X se poate organiza ca un spaţiu vectorial real dacă considerăm operaţiile: adunarea polinoamelor şi înmulţirea unui polinom cu un scalar:
iar
De asemenea, polinoamele de forma:
cu (respectiv )
formează un spaţiu vectorial, strâns legat de mulţimea cercurilor din plan.
Fie vectori oarecare din spaţiul V şi n scalari
O expresie de forma se numeşte combinaţie liniară a vectorilor consideraţi.
Elementul rezultat în urma evaluării expresiei este tot un vector ( conform regulilor ).
Mulţimea a tuturor combinaţiilor liniare ale vectorilor se numeşte spaţiul generat de vectorii
Este uşor de văzut că este un spaţiu vectorial peste (respectiv ).
Vectorii se numesc linar independenţi dacă din (în ) rezultă (în respectiv ).
Fie o mulţime de vectori din iar spaţiul generat de aceştia.
Dacă cei n vectori sunt liniar independenţi, se spune că ei formează o bază a spaţiului de dimensiune n.
Deoarece aceşti vectori generează spaţiul rezultă că oricare vector din se obţine ca o combinaţie liniară a vectorilor
Deci există scalarii unic determinaţi, astfel încât:
În spaţiul vectorii:
formează o bază a spaţiului numită baza canonică, care permite descrierea unui vector prin cele ncoordonate carteziene:
Considerăm spaţiul vectorial tridimensional, suficient de important pentru grafica şi proiectarea asistate pe calculator.
Cele mai importante obiecte cu care se operează sunt cele de punct şi vector (înţeles ca vector liber).
Punctul este precizat prin poziţia sa, vectorul are modul şi direcţie, dar nu are poziţie fixată în spaţiu.
Geometric, desenăm punctele planului prin
"", iar vectorii prin segmente de dreaptă terminate cu "".
În general desenăm vectorii pornind dintr-un punct, dar nu trebuie să uităm că lucrăm cu vectori liberi.
Notăm punctele spaţiului prin
Considerăm P o mulţime de puncte din spaţiul euclidian clasic şi spaţiul vectorial al vectorilor liberi.
Presupunem că între punctele mulţimii P şi vectorii din au loc următoarele legături (axiome):
Pentru orice două puncte A şi B, există un unic vector astfel încât
Pentru fiecare punct A şi pentru fiecare vector există un unic punct B, astfel încât (vezi legătura cu ).
În cadrul spaţiului 2D (bidimensional), axioma afirmă că dacă pornim din punctul A, în direcţia la distanţa găsim punctul B, astfel încât sau, altfel scris,
Oricare trei puncte A, B şi C satisfac:
Axioma corespunde regulei "cap-coadă".
Fie mulţimile P şi ca mai sus.
Tripletul se numeşte spaţiu afin dacă este o aplicaţie de la la cu proprietăţile:
pentru oricare (vezi axioma )
Pentru orice punct şi oricare vector există un unic punct astfel încât (vezi axioma ).
Din axiomele de mai sus, rezultă că spaţiile afine au următoarele proprietăţi:
sau, echivalent: unde
sau, echivalent: unde
, unde iar
unde iar
unde
unde iar
Fie A şi B două puncte din spaţiul afin
Expresia pentru descrie un punct care, în spaţiul afin 2D, reprezintă un punct pe dreapta determinată de punctele A şi B.
Observăm că dacă atunci C se află pe segmentul care uneşte punctele A şi B.
Dacă, prin convenţie, scrierea defineşte punctul C prin atunci o expresie de forma cu va fi numită combinaţie afină a punctelor A şi B.
Să observăm că operaţia introdusă se referă la puncte şi nu la vectori.
![{\displaystyle t\in [0,1],\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f8464392c8f9ae89796ef18c043e50ec0a51f428)
