Vector liber

Notăm cu $E_3 \!$ spaţiul punctual tridimensional al geometriei euclidiene elementare. Pentru orice două puncte distincte $A, B \in E_3 \!$ vom nota cu $\overrightarrow {AB} \!$ segmentul orientat caracterizat de următoarele entităţi:

(1) direcţia = dreapta suport a segmentului $[AB]; \!$

(2) orientarea (sensul) = de la A la B;

(3) lungimea (norma) = lungimea segmentului $[AB] \!$ notată $\| \overrightarrow {AB} \|. \!$

Punctul A se numeşte originea segmentului orientat $\overrightarrow {AB} \!$ iar punctul B se numeşte vârful segmentului orientat $\overrightarrow {AB}. \!$

În cazul în care originea A şi vârful B ale unui segment orientat $\overrightarrow {AB} \!$ coincid $(A=B) \!$ se obţine segmentul orientat nul. Prin definiţie, segmentul orientat nul $\overrightarrow {AA} \!$ are lungimea egală cu zero, nu are nicio direcţie şi nici un sens, fiin reprezentat geometric de punctul A. Spunem că două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie dacă direcţiile lor sunt paralele sau confundate.

Definiţie Două segmente orientate nenule $\overrightarrow {AB} \!$ şi $\overrightarrow {CD} \!$ se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. În acest caz vom folosi notaţia $\overrightarrow {AB} \sim \overrightarrow {CD}. \!$

Observaţia 1. Două segmente orientate nenule $\overrightarrow {AB} \!$ şi $\overrightarrow {CD} \!$ sunt echipolente

$\overrightarrow {AB} \sim \overrightarrow {CD} \!$

dacă şi numai dacă pot fi suprapuse prin paralelism astfel încât originile A şi C, respectiv vârfurile B şi D, să coincidă.

Observaţia 2. Prelungim relaţia de echipolenţă şi la segmente orientate nule: admitem că toate segmentele orientate nule sunt echipolente între ele.

Folosind observaţia de mai sus, definiţia relaţiei de echipolenţă şi câteva propoziţii geometrice elementare, decucem uşor următorul rezultat:

Propoziţia 1.

Relaţia de echipotenţă satisface următoarele proprietăţi:

(1)   $\overrightarrow {AB} \sim \overrightarrow {AB} \!$   (reflexivitate);

(2)   $\overrightarrow {AB} \sim \overrightarrow {A'B'} \; \Rightarrow \; \overrightarrow {A'B'} \sim \overrightarrow {AB} \!$   (simetrie)

(3)   $\overrightarrow {AB} \sim \overrightarrow {A'B'} \!$ şi $\overrightarrow {A'B'} \sim \overrightarrow {A''B''} \; \Rightarrow \; \overrightarrow {AB} \sim \overrightarrow {A''B''} \!$  (tranzitivitate).

Fie $\overrightarrow {AB} \!$ un segment orientat arbitrar. Vom nota cu $\overline {AB} \!$ mulţimea

$\overline {AB} \; \overset{def} {=} \{ \overrightarrow {A'B'} \; | \; \overrightarrow {A'B'} \sim \overrightarrow {AB} \}. \!$

Definiţia 2. Mulţimea $\overline {AB} \!$ se numeşte clasa de echipolenţă a segentului orientat $\overrightarrow {AB}. \!$

Observaţia 3. Evident avem $\overrightarrow {AB} \in \overline {AB} \!$ şi fiecare segment orientat din clasa de echipotenţă $\overline {AB} \!$ este un reprezentant al clasei.

Resurse

• Geometrie superioară (p. 89) (copie la Wikia)
• Multimea vectorilor liberi