Fie
E
2
{\displaystyle E_2 \!}
spaţiul punctual euclidian şi
{
O
,
i
¯
,
j
¯
}
(
x
O
y
)
{\displaystyle \{O, \bar i, \bar j \} (xOy) \!}
cartezian ortonormat.
Definiţie .
Elipsa este locul geometric al punctelor din planul euclidian a căror sumă a distanţelor la două puncte fixe
F
1
{\displaystyle F_1 \!}
F
2
{\displaystyle F_2\!}
Fie
a
,
c
∈
R
+
{\displaystyle a, c \in \mathbb R_+ \!}
F
1
(
−
c
,
0
)
,
F
2
(
c
,
0
)
∈
E
2
.
{\displaystyle F_1 (-c, 0), F_2(c, 0) \in E_2. \!}
M
(
x
,
y
)
∈
E
2
{\displaystyle M(x, y) \in E_2 \!}
(
A
1
)
{\displaystyle (A_1) \!}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
1
=
0
,
c
=
a
2
−
b
2
.
{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -1=0, \; c = \sqrt {a^2 - b^2}. \!}
Ecuaţia
(
A
1
)
{\displaystyle (A_1) \!}
ecuaţia carteziană a elipsei .
Ecuaţiile parametrice :
{
x
=
a
cos
φ
,
φ
∈
[
0
,
2
π
]
y
=
b
sin
φ
{\displaystyle \begin{cases} x = a \cos \varphi, & \\ & \varphi \in [0, 2 \pi] \\ y=b \sin \varphi & \end{cases} \!}
Elementele principale ale elipsei sunt:
punctele
F
1
,
F
2
{\displaystyle F_1, F_2 \!}
focarele elipsei;
δ
(
F
1
,
F
2
)
=
2
c
{\displaystyle \delta (F_1, F_2) = 2c \!}
distanţa focală a - semiaxa mareb - semiaxa micăvârfurile elipsei :
A
(
a
,
0
)
,
A
′
(
−
a
,
0
)
,
B
(
b
,
0
)
,
B
′
(
−
b
,
0
)
{\displaystyle A(a, 0), A'(-a, 0), B(b, 0), B'(-b, 0) \!}
dreptele directoare :
x
=
±
a
2
c
.
{\displaystyle x = \pm \frac{a^2}{c}. \!}
excentricitatea :
c
a
<
1.
{\displaystyle \frac c a < 1. \!}
Ox şi Oy ale reperului cartezian sunt axe de simetrie ale elipsei şi originea O a reperului este centrul elipsei.
Din acest motiv, reperul ortonormat xOy se numeşte canonic iar ecuaţia
(
A
1
)
{\displaystyle (A_1) \!}
redusă .
(
A
1
)
{\displaystyle (A_1) \!}
‖
M
F
1
¯
‖
δ
(
M
,
d
1
)
=
e
{\displaystyle \frac{\|\overline{MF_1} \|}{\delta (M, d_1)}= e \!}
‖
M
F
2
¯
‖
δ
(
M
,
d
2
)
=
e
.
{\displaystyle \frac{\|\overline{MF_2} \|}{\delta (M, d_2)} =e. \!}
De asemenea, se poate demonstra că perpendiculara pe tangentă într-un punct oarecare al elipsei este bisectoare a unghiului razelor focale în acest punct (proprietatea optică a elipsei ).
Ecuaţia tangentei de pantă m :
y
=
m
x
±
a
2
m
2
+
b
2
.
{\displaystyle y = mx \pm \sqrt {a^2 m^2 + b^2}. \!}
Ecuaţia tangentei în punctul
M
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M(x_0, y_0) \!}
x
x
0
a
2
+
y
y
0
b
2
=
1
,
m
=
−
b
2
a
2
⋅
x
0
y
0
.
{\displaystyle \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1, \; \; m = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac {x_0}{y_0}. \!}
Pentru a determina ecuaţia tangentei la elipsă dintr-un punct exterior acesteia avem variantele:
1. Se scrie ecuaţia tangentei de pantă dată şi se pune condiţia ca punctul să aparţină tangentei.
2. Se rezolvă sistemul:
y
−
y
0
=
m
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y - y_0 = m(x-x_0) \!}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \!}
cu condiţia
Δ
=
0.
{\displaystyle \Delta =0. \!}
Aria sectorului haşurat din figură este:
A
=
1
2
a
b
θ
=
1
2
a
b
arccos
x
a
.
{\displaystyle A= \frac 1 2 ab \theta = \frac 1 2 ab \arccos \frac x a. \!}
Pe aceeaşi figură, lungimea arcului cuprins între punctele
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a, 0) \!}
(
a
cos
θ
,
b
sin
θ
)
{\displaystyle (a \cos \theta, b \sin \theta) \!}
L
=
a
(
E
π
2
−
E
(
π
2
−
θ
,
e
)
)
,
{\displaystyle L = a(E \frac{\pi}{2} - E (\frac{\pi}{2} - \theta, e)), \!}
unde E este integrală eliptică .
În particular, pentru
θ
=
2
π
,
{\displaystyle \theta = 2 \pi, \!}
A
=
π
a
b
,
{\displaystyle A = \pi ab, \!}
P
e
r
i
m
e
t
r
u
l
=
4
a
E
(
π
2
,
e
)
.
{\displaystyle Perimetrul = 4a E (\frac{\pi}{2}, e). \!}
Proprietăţi geometrice [ ] Se dau: cercul
C
(
M
,
r
)
{\displaystyle \mathcal C (M, r) \!}
G în interiorul cercului.
Atunci locul geometric al punctelor aflate la aceeaşi distanţă de
C
(
M
,
r
)
{\displaystyle \mathcal C (M, r) \!}
G este o elipsă.
Vezi şi [ ] Resurse [ ] 
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos \varphi ,&\\&\varphi \in [0,2\pi ]\\y=b\sin \varphi &\end{cases}}\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/de9153d80c0f7e04b499e495d9559f0286771bbf)
