Cardioidă

[gr. kardia "inimă", eidos "aspect, înfăţişare"]

Cardioida este o curbă plană descrisă de un punct dat al unui cerc, care se rostogoleşte, fără alunecare, pe un cerc fix, exterior şi de aceeaşi rază.

Dacă se consideră a = b în reprezentarea parametrică a epicicloidei, se obţine reprezentarea parametrică a cardioidei:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=a (2 \cos \phi - \cos 2 \phi), \\ y=a (2 \sin \phi - \sin 2 \phi),  \end{cases} \!

reprezentata grafic în fig. 1.6. Este interesant de determinat ecuaţia cardioidei în coordonate polare. În acest scop este avantajos a se translata reperul xOy în punctul A. Rezultă schimbarea numai a abscisei x, care devine x + a. În acest reper rezultă deci:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=a (2 \cos \phi - \cos 2 \phi -1), \\ y=a (2 \sin \phi - \sin 2 \phi),  \end{cases} \!

sau:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=2a \cos \phi (1 - \cos \phi), \\ y=2a \sin \phi (1 - \cos \phi). \end{cases} \!

Prin eliminarea, între cele două ecuaţii, a parametrului $\phi\!$ , se obţine:

\tan \phi = \frac y x \!

şi

\cos \phi = \frac {x}{\sqrt {x^2 + y^2}}, \!

deci:

x= 2a \frac {x}{\sqrt {x^2 + y^2}} \left ( 1- \frac {x}{\sqrt {x^2 + y^2}} \right ), \!

adică:

(\Gamma): \; x^2 + y^2 = 2a (\sqrt{x^2 + y^2} - x), \!

$Constructia cardioidei$

Construcţia cardioidei

sau:

(\Gamma): \; (x^2 + y^2 - 2ax)^2 -4 a^2 (x^2 + y^2)=0. \!

Ultimele doua ecuaţii, constituie reprezentarea implicită (iraţională, respectiv raţională) a cardioidei.

Prin substituirea formulelor $x= \rho \cos \theta, \; \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \!$ se obtine ecuaţia cardioidei în coordonate polare, sau reprezentarea polară a cardioidei:

(\Gamma): \; \rho= 2a (1 - \cos \theta), \!

reperul polar are drept pol, punctul de contact al cercurilor, iar drept axa polară, linia centrelor celor două cercuri.

Lungimea cardioidei este 16a, iar aria domeniului mărginit de curbă este: $6 \pi a^2. \!$

Cardiodia a fost studiată de Louis Carré în 1705 şi de J. Koersma în 1741^[1] (după alte surse, 1689^[2]). Denumirea acestei curbe a fost propusă de Giovanni da Castiglione (1741).

Relaţii cu alte curbe[]

Cardioida este:

un caz particular de epicicloidă în care cele doua cercuri, cel fix şi cel mobil, au raze egale;
o concoidă a unui cerc în raport cu un punct situat pe cerc şi de rază egală cu diametrul cercului; deci este un caz perticular de melc al lui Pascal;
podară a cercului în raport cu unul din punctele sale;
inversa parabolei în raport cu focarul acesteia.

Fiind curbă cicloidală, evoluta cardioidei este o cardioidă omotetică.

Cardioida este locul geometric al simetricelor polului faţă de o tangentă variabilă la cerc: