Suprafață

În alte limbi
* English

Porțiune simplă de suprafață

Definiție: Se numește porțiune simplă de suprafață o mulțime $( \Sigma ) \!$ de puncte M din spațiu ale căror coordonate în raport cu reperul ortonormat ${\mathcal {R}}=\{0,{\overline {i}},{\overline {j}},{\overline {k}}\}\!$ al lui $\mathbb R^3 \!$ și ai căror vectori de poziție ${\overline {r}}\!$ satisfac una din următoarele condiții:

$(\Sigma ):\;F(x,y,z)=0,\;((x,y,z)\in D\subset \mathbb {R} ^{3},\!$   (1)

$(\Sigma ):\;z=f(x,y),\;((x,y)\in D'\subset \mathbb {R} ^{2},\!$   (2)

$(\Sigma ):\;{\begin{cases}x=x(u,v),\\y=y(u,v),\\z=z(u,v)\end{cases}},\;(u,v\in (u_{1},u_{2})\times (v_{1},v_{2})\!$   (3)

$(\Sigma ):\;{\overline {r}}={\overline {r}}(u,v),\;(u,v\in (u_{1},u_{2})\times (v_{1},v_{2}),\!$   (4)

unde $F,f,x,y,z,{\overline {r}}\!$ satisfac condițiile:

• sunt funcții continue,

• funcțiile $x,y,z,{\overline {r}}\!$ stabilesc o corespondență biunivocă și bicontinuă între punctele $M \in (\Gamma) \!$ și perechile ordonate de numere reale $(u,v),\;(u,v\in (u_{1},u_{2})\times (v_{1},v_{2}),\!$

• admit derivate parțiale de ordinul întâi, continue.

Relațiile (1), (2), (3), (4) se numesc respectiv: reprezentarea analitică implicită sau ecuația implicită a porțiunii simple de suprafață; reprezentarea analitică explicită sau ecuația explicită a porțiunii simple de suprafață; reprezentarea analitică parametrică sau ecuațiile parametrice ale porțiunii simple de suprafață; reprezentarea vectorială sau ecuația vectorială a porțiunii simple de suprafață.

Studiul analitic al suprafeței

În acest capitol vom defini riguros suprafețele în spațiul punctual euclidian $E_3 \!$ și vom studia principalele proprietăți geometrice ale acestora. Totodată vom scoate în evidența niște mărimi scalare (curbură totală, curbură medie și curburi principale) care ne vor da informații asupra formei unei suprafețe. Pe parcursul acestui capitol, prin aplicație diferențiabilă vom înțelege o aplicație netedă, adică o aplicație diferențiabila de o infinitate de ori pe un domeniu deschis, convenabil ales, în sensul ca acesta este inclus în domeniile de definiție ale aplicației studiate și derivatelor acesteia.

Alte definiții

Definiția 12.1.1. O aplicație injectivă și diferențiabilă

$r:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3},\!$

unde D este un domeniu deschis, definit prin

$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\;\forall (u,v)\in D,\!$

unde

$rang{\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial u}}\\{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}\end{pmatrix}}=2,\;\forall (u,v)\in D,$

se numește hartă (de coordonate).

Observația 12.1.1. Condiția de regularitate

$rang{\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial u}}\\{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}\end{pmatrix}}=2,\;\forall (u,v)\in D,$

este echivalentă cu condiția:

$r_{u}\times r_{v}\neq {\overline {0}},\;\forall (u,v)\in D,\!$

unde

$r_{u}=({\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}})\!$ și $r_{v}=({\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}).\!$

Definiția 12.1.2. O hartă

$r:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\!$

cu proprietatea că inversa ei pe imagine

$r^{-1}:r(D)\subseteq \mathbb {R} ^{3}\rightarrow D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\!$

este diferențiabilă, se numește hartă proprie.

Definiția 12.1.3. Mulțimea de puncte din spațiu

$Im\;r{\overset {not}{=}}r(D){\overset {not}{=}}\{P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\;|\;(u,v)\in D\}\subseteq E_{3},\!$

care reprezintă imaginea hărții proprii $r(u,v),\!$ se numește suprafață parametrizată simplă.

Definiția 12.1.4. O mulțime nevidă $\Sigma \!$ de puncte din spațiu cu proprietatea că pentru fiecare punct $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\in \Sigma \!$ există în $\mathbb R^3 \!$ o vecinătate V a punctului $M_0 \!$ și există o hartă proprie

$r:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\!$

astfel încât

$\Sigma \cap V=Im\;r\!$

se numește suprafață.

Observația 12.1.2. Intuitiv vorbind, o mulțime nevidă $\Sigma \!$ de puncte din spațiu este o suprafață dacă într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct $M_{0}\in \Sigma \!$ suprafața poate fi identificată cu o porțiune dintr-un plan.

Observația 12.1.3. Este evident că orice suprafață parametrizată simplă este o suprafață.

Exemple

Exemple de suprafețe: elipsoid, paraboloid, hiperboloid.

Exemplul 12.1.1 Fie aplicația injectivă și diferențială

$r:D=\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\!$

definită prin

$r(u,v)=(u,v,uv).\!$

Prin derivări parțiale, obținem:

$r_{u}=(1,0,v)\!$ și $r_{v}=(0,1,u).\!$

Prin urmare, avem condiția de regularitate:

$r_{u}\times r_{v}={\begin{vmatrix}{\overline {i}}&{\overline {j}}&{\overline {k}}\\1&0&v\\0&1&u\end{vmatrix}}=-v{\overline {i}}-u{\overline {j}}+k\neq 0,\;\forall (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}.\!$

Deoarece inversa pe imagine a aplicației r, definită prin

$r^{-1}:r(D)\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;r^{-1}(x,y,z)=(x,y),\!$

unde $z=xy,\!$ este diferențiabilă, rezultă că aplicația diferențiabilă r este o hartă proprie.

Imagine hărții proprii este mulțimea de puncte

$Im\;r=r(D)=\{P(x,y,z)\;|\;xy-z=0\}\!$

și deci $Im\;r=r(D)\!$ este o suprafață parametrizată simplă. Cu alte cuvinte, cuadrica definită de ecuația

$\Sigma \;:\;xy-z=0\!$

este o suprafață. Prin reducere la forma canonică deducem că cuadrica $\Sigma \!$ este un paraboloid hiperbolic.

Exemplul 12.1.2. Fie aplicația injectivă și diferențiabilă

$r:D=(-\pi ,\pi )\times (0,1)\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\!$

definită prin

$r(u,v)=(\sin u,\sin 2u,v).\!$

Prin derivări parțiale obținem

$r_{u}=(\cos u,2\cos 2u,0)\!$ și $r_{v}=(0,0,1).\!$

Prin urmare, avem condiția de regularitate:

$r_{u}\times r_{v}={\begin{vmatrix}{\overline {i}}&{\overline {j}}&{\overline {k}}\\\cos u&2\cos 2u&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=2\cos 2u{\overline {i}}-\cos u{\overline {j}}\neq 0,\;\forall (u,v)\in D.\!$

Doarece inversa pe imagine a aplicației r este definită prin

$r^{-1}:r(D)\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\!$

$r^{-1}(x,y,z)={\begin{cases}(-\pi -\arcsin x,z)&ptr.\;x<0\;si\;y>0\;si\;4x^{4}-4x^{2}+y^{2}=0\\(0,z)&ptr.\;x=y=0\\(\arcsin x,z)&ptr.\;x\neq 0\;si\;4x^{4}-4x^{2}+y^{2}=0\\(\pi -\arcsin x,z)&ptr.\;x>0\;si\;y<0\;si\;4x^{4}-4x^{2}+y^{2}=0,\!\end{cases}}$

unde $z\in (0,1),\!$ deducem că aplicația $r^{-1}\!$ nu este diferențiabilă în punctele $(0,0,z).\!$

În concluzie, mulțimea de puncte din spațiu $M=Im\;r=r(D)\!$ nu este o suprafață parametrizată simplă.

Mai mult, deoarece în vecinătatea oricărui punct de pe axa Oz mulțimea de puncte $M=Im\;r=r(D)\!$ nu poate fi privită ca imaginea unei hărți proprii locale, ea semănând într-o asemenea vecinătate cu intersecția a două plane, rezultă că, de fapt, mulțimea de puncte $M=Im\;r=r(D)\!$ nu este o suprafață.

Exemplul 12.1.3. Să considerăm sfera centrată în originea $O (0,0,0)\!$ și de rază $r=1\!$ având ecuația

$\Sigma :\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\!$

Fie aplicația injectivă și diferențiabilă

$r:D\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3},\!$

unde

$D=\{(u,v)\;|\;u^{2}+v^{2}<1\},\!$

definită prin

$r(u,v)=(u,v,{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}).\!$

Prin derivări parțiale obținem:

$r_{u}=(1,0,-{\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}})\!$ și $r_{v}=(0,1,-{\frac {v}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}})\!$

Prin urmare, avem condiția de regularitate:

$r_{u}\times r_{v}={\begin{vmatrix}{\overline {i}}&{\overline {j}}&{\overline {k}}\\1&0&-{\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\\0&1&-{\frac {v}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{vmatrix}}=\!$

$=-{\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\cdot {\overline {i}}+{\frac {v}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\cdot {\overline {j}}+{\overline {k}}\neq 0,\;\forall (u,v)\in D.\!$

Deoarece inversa pe imagine a aplicației r, definită prin

$r^{-1}:r(D)\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;r^{-1}(x,y,z)=(x,y),\!$

unde $x^2 + y^2 + z^2- 1 = 0 \!$ și $z>0,\!$ este diferențiabilă, rezultă că aplicația diferențiabilă r este o hartă proprie.

Imaginea $Im\;r=r(D)\!$ a hărții proprii r este emisfera nordică a sferei $\Sigma \!$ fără cerc ecuatorial.

Prin analogie, din simetriile sferei, deducem că orice punct al sferei poate fi privit ca aparținând unei emisfere parametrizate ca mai sus. În concluzie, sfera $\Sigma \!$ este o suprafață.

---

Studiul vectorial al suprafeţelor

Vezi și

• Suprafață riglată
• Plan tangent la o suprafață
• Normală la o suprafață
• Integrală de suprafață
• Regularitatea unei suprafețe
• Formele fundamentale ale unei suprafețe

Resurse

• Surfaces
• Geometrie superioară (p. 235) (copie la Wikia)
• Calcul diferențial și integral (p. 167) (copie la Wikia)
• Surfaces that are geometrically interesting