Vibrațiile unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate

Considerăm un sistem oscilant cu un singur grad de libertate format dintr-o masă m și un element elastic (un arc) ca în figura 1.

Presupunem că asupra masei m, redusă la un punct material, acționează o forță perturbatoare F(t), care determină o deplasare pe orizontală notată cu x(t). În orice moment t al mișcării, punctul material se află în echilibru sub acțiunea următoarelor forțe: forța elastică $F_e, \!$ forța de inerție $F_i = m \cdot \ddot x(t) \!$ și forța perturbatoare F(t) (fig. 2).

Așadar avem:

$F_i + F_e = F(t). \!$

Pentru deplasări mici, forța elastică este proporțională cu deplasarea (legea lui Hooke). Deci

$F_e = k \cdot x(t), \!$

unde k este coeficientul de rigiditate și se definește ca fiind forța necesară pentru a produce o deplasare unitară pe direcția acestei forțe. Inversul coeficientului de rigiditate $\delta = \frac 1 k \!$ se numește flexibilitatea elementului elastic.

Se obține astfel următoarea ecuație diferențială:

$m \cdot \ddot x(t) + k \cdot x(t) = F(t). \!$

Dacă presupunem, în plus, că există și o forță de frecare $F_f, \!$ proporțională cu viteza de deplasare, $F_f = c \cdot \dot x(t), \!$ atunci ecuația devine:

$m \cdot \ddot x(t) + c \cdot \dot x(t) + k \cdot x(t) = F(t). \!$   (1)

Constanta c se numește coeficient de amortizare vâscoasă.

În continuare, notăm cu $\omega \!$ pulsația proprie a vibrației, care se definește prin $\omega = \sqrt {\frac k m} \!$ și cu $\nu \!$ fracțiunea de amortizare critică, definită prin $\nu = \frac {c}{2m \omega}. \!$

Cu aceste notații ecuația (1) devine:

$\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) = \frac {F(t)}{m}. \!$   (2)

Ecuația (2) este o ecuație diferențială de ordinul doi, cu coeficienți constanți, neomogenă. Ecuația omogenă asociată este:

$\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) =0. \!$   (3)

și modelează cazul vibrațiilor libere cu amortizare vâscoasă.

Ecuația caracteristică este:

$r^2 + 2 \nu \omega r + \omega^2 =0. \!$

și admite soluțiile:

$r_{1, 2} = - \nu \omega \pm i \omega \sqrt {1 - \nu^2}. \!$

Dacă notăm cu $\omega^* = \omega \sqrt {1- \nu^2}, \!$ atunci soluția generală a ecuației omogene (3), care corespunde vibrațiilor libere, se notează cu $x_L (t) \!$ și este:

$x_L (t) = e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t). \!$

Ecuația neomogenă (2) modelează cazul vibrațiilor forțate cu amortizare vâscoasă.

În continuare, vom presupune că forța perturbatoare F(t) este de forma:

$F(t) = \frac {F_0}{m} \sin \theta t, \!$

unde $F_0 \!$ este o constantă.

Ecuația neomogenă devine:

$\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) = \frac {F_0}{m} \cdot \sin \theta t. \!$   (4)

Căutăm soluția particulară a ecuației neomogene, $x_F (t) \!$ (corespunzătoare vibrațiilor forțate), de forma:

$x_F (t) = A \sin \theta t + B \cos \theta t. \!$   (5)

Punând condiția ca soluția (5) să verifice ecuația diferențială (4), obținem:

$-A \theta^2 \sin \theta t - B \theta^2 \cos \theta t + 2 \nu \omega (A \theta \cos \theta t - B \theta \sin \theta t) + \!$

$+ \omega^2 (A \sin \theta t + B \cos \theta t) = \frac {F_0}{m} \cdot \sin \theta t. \!$

Identificând coeficienții lui $\sin \theta t \!$ și $\cos \theta t \!$ din cei doi membri, obținem sistemul:

$\begin{cases} (\omega^2 - \theta^2) A - 2 \nu \omega \theta B = \frac {F_0}{m} \\ 2 \nu \omega \theta A + (\omega^2 - \theta^2) B = 0 \end{cases}$ care admite soluția:

$A = \frac {\omega^2 - \theta^2}{(\omega^2 - \theta^2)^2 + 4 \nu^2 \omega^2 \theta^2} \cdot \frac {F_0}{m} \!$ și $B= \frac {-2 \nu \omega \theta}{(\omega^2 - \theta^2)^2 + 4 \nu^2 \omega^2 \theta^2} \cdot \frac {F_0}{m} . \!$   (6)

Soluția generală a ecuației neomogene (4) este:

$x(t) = x_L (t) + x_F (t) = e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t) + A \sin \theta t + B \cos \theta t. \!$   (7)

Derivând (7), rezultă:

$\dot x(t) = -\nu \omega e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t) + e^{- \nu \omega t} (\omega^* C_1 \cos \omega^* t - \omega^* C_2 \sin \omega^* t) +$

$+ A \theta \cos \theta t - B \theta \sin \theta t.\!$

Vom determina soluțiile vibrațiilor stabilizate (staționare), care corespund condițiilor inițiale:

$\begin{cases} x(0)=0 \\ \dot x(0) =0 \end{cases}$   (8)

Din condițiile (8) deducem:

$C_2 = -B \!$ și $C_1 = - \frac {\theta}{\omega^*}A - \frac {\nu \omega}{\omega^*}B. \!$   (9)

ținând seama de (6) și (9), obținem:

$x(t) = \frac {F_0}{m \omega^2 [(1 - (\frac {\theta}{\omega})^2)^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2]} \{e^{- \nu \omega t} [\frac {\theta}{\omega^*}(2 \nu^2 + (\frac {\theta}{\omega})^2 - 1 ) \sin \omega^* t + 2 \nu \frac {\theta}{\omega} \cos \omega^* t]+ \!$

$+ [\left (1 - ( \frac {\theta}{\omega})^2 \right ) \sin \theta t - 2 \nu \frac {\theta}{\omega} \cos \theta t] \}. \!$   (10)

Fie

$\alpha = \frac {\theta}{\omega^*} [2 \nu^2 + (\frac {\theta}{\omega})^2 - 1] \!$ și $\beta = 2 \nu \frac {\theta}{\omega} .\!$   (11)

Observăm că expresia $\alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t \!$ se poate prelucra astfel:

$\alpha \sin \omega^* t+ \beta \cos \omega^* t= \alpha (\sin \omega^* t + \frac {\beta}{\alpha} \cos \omega^* t). \!$

Fie $\phi = \arctan {\frac {\beta}{\alpha}}, \!$ deci $\tan \phi = \frac {\beta}{\alpha}. \!$ Atunci avem:

$\alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t = \alpha (\sin \omega^* t + \tan \phi \cos \omega^* t) = \!$

$= \frac {\alpha}{\cos \phi} (\sin \omega^* t \cos \phi + \sin \phi \cos \omega^* t) = \frac {\alpha}{\cos \phi} \sin (\omega^* t + \phi). \!$

Pe de altă parte:

$\frac {1}{\cos^2 \phi} = 1 + \tan^2 \phi = \frac {\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2}. \!$

de unde deducem că:

$\alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t = \sqrt {\alpha^2+ \beta^2} \sin (\omega^* t + \phi).\!$   (12)

ținând seama de (11), rezultă:

$\alpha^2+ \beta^2 = \frac {\theta^2}{\omega^2 (1- \nu^2)} \left [(1 - (\frac {\theta}{\omega})^2)^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2 \right ] \!$   (13)

Dacă notăm $\gamma = 1- (\frac {\theta}{\omega})^2 \!$ și cu $\delta = - 2 \nu \frac {\theta}{\omega}, \!$ atunci

$\gamma^2 + \delta^2 = [1- (\frac {\theta}{\omega})^2]^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2 \!$   (14)

și așa cum s-a arătat mai sus, avem:

$\gamma \sin \theta t + \delta \cos \theta t = \sqrt {\gamma^2 + \delta^2} \sin (\theta t + \psi), \!$   (15)

unde

$\psi = \arctan \frac {\delta}{\gamma}. \!$

ținând seama de (12), (13), (14), (15) în expresia soluției generale (10), rezultă:

$x(t) = \frac {F_0 e^{- \nu \omega t}}{m \theta^2 \sqrt{1- \nu^2}} \cdot \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^3 \mu^* \sin (\omega^* t + \phi) + \frac {F_0}{m \theta^2} \cdot \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \mu^* \sin (\theta t + \psi), \!$   (16)

unde

$\mu^* = \frac {1}{\sqrt{ \left ( 1 - \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \!$   (17)

reprezintă coeficientul dinamic sau factorul de amplificare.

În sfârșit, dacă notăm cu $\lambda = \frac {F_0}{M \theta^2}, \!$ atunci soluția căutată este:

$x(t) = x_L(t) + x_F(t), \!$

unde

$x_L(t) = \frac {\lambda}{\sqrt{1 - \nu^2}} \cdot \frac {\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^3}{\sqrt{ \left ( 1 - \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \cdot e^{- \nu \omega t} \cdot \sin ( \omega \sqrt {1 - \nu^2} t + \phi), \!$

$\phi = \arctan \frac {2 \nu \sqrt{1 - \nu^2}}{2 \nu^2 + \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 - 1}, \!$

iar

$x_F (t) = \lambda \cdot \frac {\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}{\sqrt{ \left ( 1 - \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \cdot \sin (\theta t + \psi) , \!$

$\psi = \arctan \frac {2 \nu \frac {\theta}{\omega}}{\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 - 1}. \!$

Analizând soluția obținută, constatăm că primul termen, $x_L(t), \!$ care modelează vibrațiile libere, este de forma:

$x_L(t) = A e^{- \nu \omega t} \sin (\omega^* + \phi), \!$

soluție care exprimă o mișcare armonică cu pulsația $\omega^* \!$ și amplitudinea $A e^{- \nu \omega t} \!$ și care descrește exponențial în timp. O asemenea mișcare se mai numește și cvasiarmonică și este reprezentată grafic în figura 3.

Figura 3

Soluția ecuației neomogene, care corespunde vibrațiilor forțate,

$x_F = B \sin (\theta t + \psi), \!$

exprimă o mișcare armonică (sinusoidală) de pulsație $\theta \!$ și amplitudine B (figura 4).

Fig. 4

Când acțiunea forței perturbatoare este de lungă durată, vibrația totală, $x(t) = x_L(t) + x_F(t), \!$ se reduce la vibrație forțată $x_F(t), \!$ deoarece $x_L (t) \!$ tinde la zero, datorită factorului $e^{- \nu \omega t} .\!$ În această situație, care interesează din punct de vedere practic, mișcarea capătă un caracter staționar.

Graficul soluției $x(t), \!$ care se obține prin însumarea graficelor din figurile 3 și 4, arată ca în figura 5.

Fig. 5

În cazul lipsei forței de amortizare vâscoasă $(\nu = 0), \!$ avem:

$x_F(t) = \frac {F_0}{m \omega^2 \left [ 1 - \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right ]} \cdot \sin (\theta t + \psi). \!$

Observăm că dacă $\theta = \omega , \!$ situație care corespunde cazului de rezonanță, $x_F (t) \!$ devine infinit. Această situație este ipotetică, deoarece, în realitate, sistemul are întotdeauna o amortizare internă, care limitează mărimea deplasărilor.

Să revenim la cazul general când $\nu \neq 0. \!$ Analizând amplitudinea soluției în acest caz, observăm că în zona rezonanței $(\theta \cong \omega), \!$ deplasările nu mai devin infinite, dar, în această zonă, amplitudinea are valori maximale.

Un grafic al factorului de amplificare $\mu^* \!$ în funcție de raportul $\frac {\theta}{\omega} \!$ și pentru diferite valori ale frecvenței este prezentat în figura 6.

Fig. 6

Vezi și

• Ecuație diferențială