Fractal
Fractali – Prezentare generala[]
Fractalii sunt forme si modele extraordinare create cu ajutorul ecuatiilor matematice. O definitie intuitiva a fractalului este aceasta: Un fractal este o figura geometrica fragmentata sau franta, care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului. Cuvantul “fractal” a fost introdus de matematicianul Benoit Mandelbrot in 1975 si provine din latinescul “fractus”, care inseamna spart sau fracturat. Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici:
- este auto-similar (macar aproximativ sau stochastic): daca se mareste orice portiune dintr-un fractal, se vor obtine (cel putin aproximativ) aceleasi detalii cu cele ale fractalului intreg.
- are o definitie simpla si recursiva – pentru a va imagina fractalul corespunzator unei functii f(x), considerati elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.
- are detaliere si complexitate infinita: orice nivel de magnificare pare identic si are o structura fina la scari infinit de mici.
Termenii cheie din geometria fractala sunt:
- initiator: segmentul, curba sau forma initiala.
- generator: regula folosita pentru a construi o noua curba sau forma din cea obtinuta anterior.
- iteratie: procesul de repetare a aceluiasi pas iar si iar.
Exemple celebre de fractali[]
Triunghiul lui Sierpinski
- Triunghiul lui Sierpinski – se obtine pornind de la un triunghi si decupand recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecarei laturi.
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 1 |
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 2 |
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 3 |
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 4 |
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 5 |
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 6 |
  Fulgul de zăpadă al lui Koch 7 |
- Fulgul de zapada al lui Koch -
se obtine pornind de la un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat sa se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se executa aceiasi pasi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La fiecare iteratie, perimetrul aceste figuri creste cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui numar infinit de executii ale acestor pasi, si are lungime infinita, in timp ce aria sa ramane finita. De aceea Fulgul Koch si constructiile similare sunt numite uneori “curbe monstru“.
Mulţimea Julia
Alte exemple celebre de fractali sunt:
- Multimea Julia
- Multimea lui Mandelbrot, Multimea lui Cantor, Covorul lui Sierpinski, Curba dragon, Curba lui Peano, Multimea Julia etc.
Fractali din natura[]
Benoit Mandelbrot – “parintele fractalilor” – a cercetat relatia dintre fractali si natura. El a aratat ca in natura exista multi fractali si ca acestia pot modela cu precizie unele fenomene. Mandelbrot impreuna cu colaboratorii sai au introdus tipuri noi de fractali pentru a modela lucruri mai complexe, cum ar fi arborii si muntii. Conceptul de similitudine poate fi extins intr-o anumita masura prin introducerea unor mici schimbari in seria de transformari similare – asa-numitele perturbari. Daca introducem anumite perturbari intr-un arbore fractal uniform, rezultatul poate semana cu un copac real, un coral sau cu un burete.
Fractali aproximativi pot fi observati usor in natura; aceste obiecte afiseaza o structura auto-similara la o scara mare, dar finita. Exemple de fractali din natura: norii, fulgii de zapada, cristalele, lanturile montane, fulgerele, retelele de rauri, liniile de coasta. Arborii si ferigile sunt fractali naturali care pot fi modelati usor pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursiva este evidenta în aceste exemple — o ramura a unui arbore sau o frunza a unei ferigi este o copie în miniatura a întregului: nu identice, dar similare. O alta planta la care se poate observa usor auto-similitudinea este conopida (sau broccoli). In corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul fractalilor: ramificatiile venelor si arterelor, structura rinichiului si a scheletului, inima si sistemul nervos.
Fractali – aplicatii in diverse domenii[]
  Munte fractal 1 |
  Munte fractal 2 |
  Munte fractal 3 |
  Munte fractal 4 |
  Munte fractal 5 |
Complexitatea si proprietatile uimitoare ale fractalilor le permit acestora sa modeleze lucruri din diferite domenii: biologie, geografie, hidrologie, meteorologie, geologie, economie, medicina, psihologie, astronomie (modeleaza structura Universului, distributia galaxiilor si distributia craterelor pe luna – in filmul Apollo 13, o imagine a lunii a fost generata folosind fractali).
Fractalii si Teoria Haosului[]
Probabil ca ati auzit de “Efectul fluturelui“, care spune ca un fluture batand din aripi undeva in Europa poate declansa o tornada in Texas. De fapt asta afirma teoria haosului: mici modificari ale datelor initiale ale unui sistem complex pot conduce la stari finale ale sistemului foarte diferite. O posibilitate importanta pentru a investiga sesibilitatea sistemelor haotice este de a le reprezenta comportamentul prin grafica pe computer. Aceste forme grafice rezultate apar sub forma unor fractali.
Utilitatea geometriei fractale in teoria haosului rezida in faptul ca obiectele nu mai sunt reduse la cateva forme perfect simetrice ca in geometria euclidiana – geometria fractala studiaza asimetria, asperitatea obiectelor, precum si structurile fractale din natura. In geometria fractala, norii nu mai sunt sfere, muntii nu mai sunt conuri, liniile de coasta nu mai sunt cercuri.
De fapt, asperitatea nu este numai o imperfectiune a unui lucru ideal, ci este chiar esenta multor obiecte naturale. Astfel, in timp ce geometria euclidiana servea ca limbaj descriptiv pentru mecanismele clasice de miscare, geometria fractala este folosita pentru studierea modelelor produse de haos. In matematica, functiile fractale se comporta ca si sistemele haotice in care schimbari aleatoare asupra valorilor de pornire pot modifica valoarea functiei in moduri imprevizibile, in interiorul frontierelor sistemului. Faimoasa Multime Mandelbrot demonstreaza aceasta legatura dintre fractali si teoria haosului – dintr-o ecuatie matematica foarte simpla se produc rezultate foarte complexe.
Multimea Mandelbrot
Pentru a intelege fractalii, trebuie distinse acele proprietati fundamentale care nu se schimba de la un obiect studiat la altul. Prin studierea structurii fractale a sistemelor haotice, e posibil sa se determine punctele critice in care predictibilitatea unui sistem dispare. Scopul geometriei fractale este acela de a oferi o metoda ingenioasa de cunoastere, prin care fenomene complexe pot fi explicate pornind de la niste reguli simple
Fractalii in arta[]
Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni in arta, colorati in manifestarile lor diferite si grupati in galerii de imagini fractale, pentru a ului si pentru a provoca imaginatia. De asemenea, fractalii mai pot fi utilizati pentru a modela cu precizie muzica produsa de diferiti compozitori. Fractalii se regasesc si in unele picturi, precum si in arta si arhitectura africana. Generatori de fractali
Fractal generat
Oricine poate crea peisaje deosebite si imagini atragatoare cu ajutorul fractalilor, deoarece exista pe Internet o multime de programe software generatoare de fractali. Astfel, oricine poate genera fractali, neavand nevoie sa cunoasca notiuni matematice complexe – tot ce trebuie sa faca este sa modifice functia care genereaza fractalul si alti parametri, si sa selecteze niste culori. De asemenea, va puteti compune propria muzica fractala cu ajutorul unor programe software specializate.
Postul de televiziune PBS (Nova), a difuzat în 28 octombrie 2008, un documentar fascinant, Hunting the Hidden Dimension, ca un elogiu binemeritat, adus unui matematician de geniu, Benoit Mandelbrot, care a impus, începând cu anul 1975, dar, mai ales, ca autor al cãrtii "The Fractal Geometry of Nature", un nou domeniu al matematicii, geometria fractalã, ale cãrei prezente în viata cotidianã si aplicãrii diverse, de nebãnuit, sunt revelate, în parte, de acest film.
S-ar putea sã nu stiti, dar fractalii, la fel ca aerul pe care-l respirãm, sunt peste tot în jurul nostru, formele lor neregulate, repetitive, putând fi descoperite în formatiunile noroase si ramurile copacilor, în broccoli si în culmile aspre ale muntilor si, chiar, în ritmurile inimii umane, Nova purtându-ne în film, printr-o aventurã uimitoare, cu ajutorul unui grup de matematicieni rebeli, hotãrâti sa descifreze regulile ce guverneazã geometria fractalã.
Timp de secole, formele neregulate, fractale, au fost considerate a fi dincolo de frontierele posibile, ale cunoasterii matematice, fiind categorisite drept "monstri", lipsiti de orice aplicabilitate practicã, fiind imaginati si studiati initial de matematicieni ca Georg Cantor, Karl Weierstrass si Felix Hausdorff, ca fiind functii continue dar nediferentiabile, si abandonati, ulterior, fiindcã nu li se putea gãsi o explicatie, în contextul limitatei geometrii euclidiene.
Un fractal matematic, se bazeazã pe o ecuatie ce este supusã unei iteratii, o formã de conexiune inversã, repetitivã.
Existã multe exemple de fractali, care sunt descrisi ca având proprietãti de auto-asemãnare, cvasi auto-asemãnare sau auto-asemãnare statisticã.
Desi sunt pure constructii matematice, fractalii pot fi descoperiti în naturã, fapt pentru care au fost inclusi si în opere de artã, având aplicatii curente în medicinã, seismologie si analize tehnice din domenii diverse.
Un fractal are, adesea, urmãtoarele caracteristici:
- are o structurã foarte complexã la scãri oricât de mici, arbitrar alese;
- este prea neregulat, pentru a putea fi descris, cu usurintã, în limbajul euclidian traditional;
- prezintã auto-asemãnare (aproximativã si aleatorie);
- are o dimensiune Hausdorff, care este mai mare decât dimensiunea sa topologicã;
- are o definitie simplã, repetitiva.
Deoarece aratã similar, la toate nivelele de amplificare, fractalii sunt consideraãi, adeseori, ca fiind figuri geometrice, infinit de complexe.
Obiectele naturale, ce pot fi aproximate de fractali, includ: norii, culmile muntoase, fulgerele, liniile costiere, fulgii de zãpadã, diverse vegetale (ca broccoli sau conopida), anumite tipare de culoare, întâlnite în lumea animalã s.a.m.d.
Imagini de fractali, pot fi generate, automat, de programe computerizate, dar, desi poartã aceastã denumire genericã, nu manifestã toate caracteristicile metionate anterior, cum ar fi, de exemplu, pãstrarea auto-asemãnãrii la orice nivel de amplificare.
Matematica ce stã la baza fractalilor, a început sã se contureze în secolul al XVII-lea, când matematicianul si filozoful Gottfried Leibniz, a remarcat, primul, auto-asemãnarea repetitivã, desi el a comis eroarea de a considera cã, doar linia dreaptã, are aceastã proprietate.
Abia la 1872, a fost creatã o functie matematicã, a cãrei reprezentare graficã, poate fi consideratã a fi fractalã, când, Karl Weierstrass, a dat un exemplu de functie neintuitivã, continuã dar nediferentiabilã.
În 1904, Helge von Koch, nesatisfãcut de definitia abstractã si analiticã a lui Weierstrass, a dat o definitie mai mult geometricã, unei functii similare, cunoscutã, astãzi, sub numele de curba lui Koch.
Functii iterative plane, complexe, au fost de asemenea investigate, la sfârsitul secolului al XIX-lea si începutul secolului XX, de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou si Gaston Julia, dar fãrã sprijinul grafic al unui computer modern, totusi, ei nu au avut posibilitatea vizualizãrii frumusetii matematice, a multor functii pe care le-au descoperit.
În anii '60, Benoit Mandelbrot, a început sã studieze proprietãti ca auto-asemãnarea, în articole precum: "Cât de lungã, este linia costierã a Marii Britanii" si "Auto-asemãnarea statisticã si dimensiunea fractionalã", care se bazau pe descoperiri, mai timpurii, ale matematicianului Lewis Fry Richardson.
Într-un final, în 1975, Mandelbrot inventeazã termenul de "fractal", pentru a diferentia un obiect, a cãrui dimensiune, Hausdorff–Besicovitch, este mai mare decât dimensiunea sa topologicã, ilustrându-si spusele si definitiile matematice, cu vizualizãri computerizate socante, imagini bazate pe definitii recursive, ce au captat atentia publicã si au impus definitiv termenul de "fractal".
Gratie fantasticei opere a lui Mandelbrot, care a regândit dimensiuni vitale, intuind ordinea din dezordine, matematicienii încep, astãzi, sa le întrevadã potentialul enorm, aventurându-se într-un teritoriu necartografiat, al unor, deocamdatã enigme, ale matematicii si vietii, descoperirile lor remarcabile, adâncind cunostintele noastre asupra naturii si stimulând un nou val de inovatii stiintifice, medicale si artistice, mergând de la ecologia amenintatei pãduri tropicale, la efectele speciale cinematografice si moda vestimentarã.
Prin contributia unor astfel de minti iscoditoare si perfect intuitive, ale unor rebeli ai stiintei, ca Halton C. Arp, Benoit Mandelbrot si Nassim Haramein, avem astãzi explicatii, pentru tot ceea ce pãrea, cândva, a fi un haos, revelatiei uimitoare a unui Univers holografic ?i fractal, urmându-i, firesc, cea a unei naturi deloc aleatoare, ce poate fi cuprinsã în ecuatii si formule matematice riguroase, spulberându-se, astfel, orice dubiu, în prezenta unei Minti Supreme, ce a imaginat totul, în cel mai mic ?i aparent insignifiant, amãnunt.
