Curba lui Viviani

Curba lui Viviani este curba obţinută din intersecţia unei sfere cu un cilindru circular drept care trece prin centrul sferei şi are raza jumătate din raza sferei. Să aflăm ecuaţiile parmetrice, considerând că sfera are centrul în origine, raza R iar cilindrul are generatoarele paralele cu Oz şi centrul în $(\frac R 2, 0, 0) \!$

Ecuaţia sferei este:

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \!$

iar a cilindrului:

$\left (x - \frac R 2 \right )^2 + y^2 = \left ( \frac R 2 \right )^2$

Alegem ca parametru unghiul t în parametrizarea cercului după care cilindrul intersectează planul xOy:

$\left \{ \begin{array}{lr} x= \frac R 2 \cos t + \frac R 2 \\ \; \; \; \; \;\; \; \; \; \;\; \; \; \; \;\; \; \; \; \; t \in [0, 2 \pi] \\ y= \frac R 2 \sin t \end{array} \right.$

înlocuind în ecuaţia sferei obţinem:

$\left ( \frac R 2 \cos t + \frac R 2 \right )^2 + \left ( \frac R 2 \sin t \right )^2 + z^2 = R^2$

Făcând calculele rezultă:

$z^2 = \frac {R^2}{2} (1 - \cos t) = R^2 \sin^2 \frac t 2$

deci curba lui Viviani are ecuaţiile parametrice:

$\left \{ \begin{array}{lr} x= \frac R 2 \cos t + \frac R 2 \\ \\ y = \frac R 2 \sin t) \\ \\ z = \pm R \sin \frac t 2 \end{array} \right .$
	$t\in [0,2\pi]$

Resurse

• ChronoMath
• WolframAlpha.com
• Fișier:Curbaviviani.pdf