Cuadrică

Cuadricele sau suprafețe algebrice de grad doi reprezintă o clasă de suprafețe în spaţiu, caracterizate într-un reper cartezian din spaţiul $E_3 \!$ printr-o ecuaţie de forma:

$\Sigma \ : g(x, y, z) =0, \!$

unde funcția $g(x, y, z) \!$ este o funcţie polinomială de grad doi în nedeterminatele $x, y, z. \!$

Vom demonstra că o cuadrică nu poate reprezenta în spaţiu decât una dintre următoarele figuri geometrice: o sferă, un elipsoid, un hiperboloid cu o pânză sau două, un paraboloid eliptic sau hiperbolic, un con eliptic sau circular, un cilindru circular, eliptic, hiperbolic sau parabolic, o reuniune de plane secante, paralele sau confundate, o dreaptă, un punct sau mulțimea vidă.

Cuadrice pe ecuaţii reduse

Fixăm reperul ortonormat:

$\mathcal R = \{O; \bar i; \bar j; \bar k \} \!$

în spaţiul tridimensional al geometriei euclidiene $E_3, \!$ adică fixăm în $E_3, \!$ un sistem ortogonal de axe (coordonate) Oxyz.

Sfera

(Detalii la articolul: Sferă)

Definiţia 1. Se numeşte sferă de centru $C(x_0, y_0, z_0) \!$ şi de rază $r > 0\!$ mulţimea (S) a punctelor din spaţiu M(x, y, z) care verifică relaţia:

Sfera (S)

$d(M, C)=r. \!$

Observaţia 1. Este evident că mulţimea punctelor din spaţiu care aparţin sferei (S) de centru $C(x_0, y_0, z_0) \!$ şi de rază $r > 0\!$ satisface ecuaţia de gradul doi:

$(S) \ : (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2 \!$

numită ecuaţia carteziană implicită a sferei de centru $C(x_0, y_0, z_0) \!$ şi de rază $r>0. \!$

Dezvoltând pătratele, în ecuaţia carteziană implicită a sferei (S), obţinem ecuaţia:

$(S) \ : x^2 + y^2 + z^2 - 2x_0x -2 y_0y -2z_0z +x_0^2 + y_0^2 +z_0^2 =0, \!$

---

Resurse

• Geometrie superioară (p. 149) (copie la Wikia)
• Lecţii de geometrie analitică
• Superfícies Quádrica

Cuadrice
Elipsoid	Hiperboloid cu o pânză	Hiperboloid cu două pânze	Paraboloid eliptic	Paraboloid hiperbolic	Con eliptic	Cilindru eliptic	Cilindru hiperbolic	Cilindru parabolic