Definiţie.
Dacă ABC este un triunghi şi astfel încât atunci spunem că dreapta este antiparalelă cu BC.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Observaţia 1.
Dacă este antiparalelă cu BC atunci patrulaterul este inscriptibil (fig. 1).
Fig. 4
Lema 1.
Dacă în triunghiul ABC, dreapta este antiparalelă cu BC şi dreapta A_2B_1 este paralelă cu AB' şi dreapta este antiparalelă cu AC atunci şi punctele sunt conciclice.
Demonstraţie.
Deoarece şi sunt antiparalele cu BC respectiv AC, avem:
Prin urmare cu consecinţa:
(1)
Deoarece rezultă că patrulaterul este trapez (în ipoteza ).
Ţinând seama şi de relaţia (1), trapezul este isoscel, deci
Se ştie că un trapez isoscel este patrulater inscriptibil şi prin urmare punctele sunt conciclice.
Dacă va rezulta că este dreptunghi şi concluzia rămâne adevărată.
Observaţia 2.
Dacă antiparalelele şi sunt ca în fig. 3, se demonstrează în mod analog că patrulaterul este trapez isoscel.
Lema 2.
Dacă în triunghiul ABC dreapta este antiparalelă cu BC, dreapta este antiparalelă cu AC şi atunci şi punctele sunt conciclice.
Demonstraţie.
Din faptul că şi sunt antiparalele (vezi fig. 2) cu BC' respectiv AC rezultă că şi de aici obţinem că
Notăm avem: (LUL) cu consecinţele:
şi
Triunghiul este isoscel şi de asemenea triunghiul este isoscel.
Avem:
şi
prin urmare ceea ce conduce la
Patrulaterul este prin urmare, în general, trapez isoscel, deci şi punctele sunt conciclice.
Dacă patrulaterul este dreptunghi şi concluzia lemei se păstrează.
Observaţia 3.
Lema 2 arată că extremităţile a două antiparalele congruente duse într-un triunghi sunt puncte conciclice.
Teoremă.
Dacă ABC este un triunghi, dreapta este antiparalelă cu BC, dreapta este paralelă cu AB dreapta este antiparalelă cu AC dreapta este paralelă cu BC şi dreapta este antiparalelă cu AB atunci:
(i) este paralelă cu AC;
(ii)
(iii) Punctele sunt conciclice (cercul lui Tucker)[1]
Demonstraţie.
Din Lema 1 rezultă (1) şi sunt conciclice (2).
De asemenea rezultă (3) şi conciclice (4).
Din relaţia (1) şi (3) obţinem (ii).
Aplicând Lema 2 pentru antiparalelele congruente şi obţinem (i) şi faptul că punctele sunt conciclice (5).
Deoarece este paralelă cu AB şi este antiparalelă cu AB, rezultă că şi sunt antiparalele, prin urmare punctele sunt conciclice (6).
Relaţiile (2), (4), (5) şi (6) arată că punctele sunt conciclice deci este adevărată relaţia (iii).
Observaţia 4.
a.
în (1) cercul lui Tucker este definit ca cercul ce conţine extremităţile a trei antiparalele egale ale triunghiului ABC.
b.
Din teorema demonstrată se deduce un mod de a construi trei antiparalele congruente într-un triunghi şi implicit cercul lui Tucker.
c.
Teorema arată de asemenea că plecând dintr-un punct situat pe o latură a triunghiului şi construind alternativ antiparalele la o latură, paralela la latura următoare ş.a.m.d. după 6 paşi hexagonul se închide (ajunge în punctul de unde am plecat).
Note[]
↑Robert Tucker (1832 - 1905) a fost un matematician englez.
.JPG){kind=link}