Câmp scalar

Fie $D\subset \mathbb {R} ^{3}\!$ un domeniu tridimensional, $M(x, y, z) \!$ un punct oarecare din D şi $f\in {\mathcal {F}}(D)\!$ o funcţie reală definită pe D. Valorile funcţiei f, scrise în forma $f(M),\!$ sau în forma $f(\mathbf {x} )=f(x,y,z),\!$ unde $\mathbf {x} =(x,y,z)\in D,\!$ sunt numere reale sau scalari. Astfel, funcţia f se mai numeşte şi funcţie scalară.

Definiţia 1. Funcţia scalară $f\in {\mathcal {F}}(D),\;D\subset \mathbb {R} ^{3},\!$ se numeşte câmp scalar tridimensional.

Dacă domeniul D este bidimensional, deci $D\subset \mathbb {R} ^{2},\!$ sau D este o porţiune de suprafaţă mărginită de o curbă în spaţiu, poziţia punctului $M\in D\!$ va fi determinată de doi parametri (coordonatele carteziene x şi y ale punctului din plan în primul caz, sau coordonatele curbilinii u şi v ale punctului stuat pe o suprafaţă în cel de-al doilea caz). După caz, vom scrie: $f(M)=f(x,y);\;f(M)=f(u,v).\!$ În ambele cazuri, funcţia scalară $f\in {\mathcal {F}}(D)\!$ se numeşte câmp scalar bidimensional.

În cele ce urmează vom presupune că funcţia f este continuă pe D şi admite derivate parţiale de orice ordin continue în D.

Exemplul 1. Câmpul temperaturilor $T=T(M)\!$ într-o regiune tridimensională sau bidimensională şi câmpul presiunilor $p=p(M)\!$ într-un domeniu plan sau spaţial sunt exemple de câmpuri scalare.

Exemplul 2. Funcţia reală de două variabile reale:

f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,\;f(M)=f(x,y)={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\;a,b\in \mathbb {R} _{+}^{*},\!

(1)

este un câmp scalar bidimensional.

Exemplul 3. Funcţia reală de trei variabile reale:

f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ,\;f(M)=f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\!

(2)

este un câmp scalar definit în întreg spaţiul tridimensional.

Fie câmpul scalar $f(M),M\in D\subset \mathbb {R} ^{3}\!$ şi $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\in D,\!$ fixat.

Definiţia 2. Se numeşte suprafaţă de nivel care trece prin $M_0 \!$ a câmpului scalar tridimensional $f(M),\!$ locul geometric al punctelor $M\in D\!$ cu proprietatea:

f(M)=f(M_{0})\!

(3)

sau, având în vedere coordonatele carteziene ale punctelor $M \!$ şi $M_0, \!$

f(x,y,z)=f(x_{0},y_{0},z_{0}).\!

(4)

Deoarece $M_0 \!$ este un punct al suprafeţei de nivel $S_0 \!$ ecuaţia acesteia este (3) sau (4).

Observaţia 1. Prin orice punct $M_{0}\in D\!$ trece o suprafaţă de nivel a câmpului scalar tridimensional $f\in {\mathcal {F}}(D),\!$ iar orice două suprafeţe de nivel ale sale ori sunt identice, ori nu au niciun punct comun.

Exemplul 4. Suprafeţele de nivel ale câmpului termic dintr-o regiune tridimensională sunt izotermele; cele ale câmpului presiunilor sunt izobarele; suprafeţele de nivel ale câmpului scalar (2) sunt sfere cu centrele în origine.

Definiţia 3. Prin curbă de nivel a câmpului scalar bidimensional $f\in {\mathcal {F}}(D),\;D\subset \mathbb {R} ^{2}\!$ ( sau $D\subset \Sigma ,\!$ unde $\Sigma \!$ este o suprafaţă), se înţelege locul geometric al punctelor $M(x,y)\in D\!$ (sau $M(u,v)\in D\subset \Sigma \!$ ) cu proprietatea: