Mișcarea unei particule în câmp electric static

Considerăm două plăci metalice paralele, situate la distanţa d, între care se găseşte aplicată o tensiune U ce crează un câmp electric uniform de intensitate:

$E = \frac {U} { d}$   (1)

O particulă electrizată de masă m şi sarcină electrică q pătrunde în câmpul electric cu viteza v₀ perpendiculară pe liniile câmpului. Pentru a studia mişcarea particulei alegem un sistem de coordonate xOy.

În interiorul câmpului, pe Ox viteza iniţială este v₀, forţa F₀= 0, acceleraţia a_x=0 deci mişcarea este uniformă cu ecuaţia:

$x_1=v_0 \cdot t$   (2)

Pe axa Oy intervine forţa $F_y=qE \!$ care imprimă o acceleraţie:

$a_y = \frac {qE}{m}$,   (3)

ecuaţiile de mişcare sunt:

$y= \frac {a_y t}{2} = \frac {1}{2} \cdot \frac {qE}{m} \cdot t$   (4)

$y= a_y t^2 = \frac {qE}{m} \cdot t$   (5)

După eliminarea timpului rezultă:

$y_1 = \frac {qE}{m v_0^2} \cdot x^2_1$   (6)

Această ecuaţie arată că traiectoria particulei în interiorul câmpului este un arc de parabolă. Calculând vitezele v_x şi v_y la ieşirea din câmp:

$v_x = v_0 \;$ şi $\; v_y = \frac {q E x_1}{m v_0}$   (7)

şi din asemănarea triunghiurilor vitezelor şi al deplasărilor în exterior:

$y_2 = \frac {qEx_1 D}{m v_0^2}$   (8)

şi deviaţia totală este:

$y = \frac {q U x_1}{m d v_0^2} \left ( \frac {x_1}{2} + D \right )$   (9)

Se constată că deviaţia y poate fi influenţată de valoarea tensiunii U.

Una dintre aplicaţiile deviaţiei electronilor în câmp electric este la osciloscopul catodic.

---

Presupunând că particula intră cu viteza $\overrightarrow{v_0}$ într-un câmp electric static $\overrightarrow{E_0}$ atunci, pornind de la ecuaţia de mişcare:

$m \cdot \frac {d^2 \overrightarrow {r} (t)}{dt^2}$   (10)

se poate afirma că între două ciocniri particula va avea o mişcare rectilinie uniform accelerată, viteza ei fiind descrisă de ecuaţia:

$\overrightarrow {v}(t) = \overrightarrow {v_0} + \frac {e \overrightarrow {E_0}}{m} \cdot t$   (11)

Din punct de vedere al stării de plasmă, aceasta este mişcarea electronilor primari în spaţiul căderii normale de tensiune catodică, spaţiu în care ei sunt acceleraţi cu $\overrightarrow {a_e} = \frac {e \overrightarrow {E_0}}{m_e}$ până la energii cinetice suficient de mari pentru a fi capabili ca prin ciocniri neelastice cu atomii sau moleculele gazului să producă ionizarea acestora şi să iniţieze mecanismul de formare a plasmei.

Câmp magnetic static şi omogen

Fig. 3.2 Particulă încărcată în câmp magnetic static şi omogen

Ecuaţia de mişcare a particulei într-un câmp magnetic static şi omogen este:

$m \frac{d \overrightarrow v}{dt} = e (\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$   (12)

Presupunând că într-un sistem rectangular de coordonate câmpul magnetic $\overrightarrow B_0$ este orientat în lungul axei Oz, ecuaţia vectorială (12) poate fi descompusă în două ecuaţii: una pe direcţia câmpului (paralelă) şi una pe o direcţie perpendiculară pe câmp (în planul xOy, Fig.3.2):

$m \frac{d \overrightarrow v_\|}{dt} = (\overrightarrow v_\| \times \overrightarrow B_0)$   (13)

$m \frac{d \overrightarrow v_\bot}{dt} = (\overrightarrow v_\bot \times \overrightarrow B_0)$   (14)

Deoarece produsul vectorial $\vec{v_\|} \times \vec{B_0}$ este nul, acceleraţia particulei pe direcţia câmpului magnetic va fi şi ea nulă, ceea ce înseamnă că pe această direcţie particula va avea o mişcare rectilinie uniformă cu viteza $\vec{v_\|} = \vec{v_{0 \|}}$

Ecuaţia (14) poate fi scrisă sub forma:

$\frac {d \vec{v_\bot}}{dt} = \vec {a_c} = \vec{\omega_c} \times \vec {v_\bot}$   (15)

în care $\vec{a_c}$ este acceleraţia particulei pe direcţia perpendiculară pe câmp. Deoarece ea este perpendiculară şi pe vectorul viteză în planul xOy, acesta nu-şi va modifica modulul ci numai direcţia. Drept urmare, în acest plan mişcarea particulei va fi una circulară uniformă cu pulsaţia de rotaţie

$\vec{\omega_c} = - \frac{e \vec{B_0}}{m}$   (16)

numită şi pulsaţie ciclotronică.

Integrând ecuaţia (15) se obţine:

$\vec{v_\bot} = \vec{\omega_c} \times \vec{r_c}$   (17)

în care $\vec{r_c}$ este raza cercului (raza ciclotronică) care reprezintă traiectoria particulei în planul xOy. Deoarece vectorii $\vec{\omega_c}$ şi $\vec{r_c}$ sunt reciproc perpendiculari, expresia razei ciclotronice poate fi scrisă:

$r_c = \frac {m v_{0 \bot}}{e B_0}$   (18)

Aşadar, particula va avea o mişcare elicoidală în jurul lui $\vec {B_0}$ cu perioada de rotaţie:

$T_c = \frac {2 \pi}{\omega_c} = \frac {2 \pi m}{e B_0}$   (19)

şi cu pasul elicoidei:

$h = v_0 T_c = \frac {2 \pi m v_{0 \|}}{e B_0}$   (20)

Mişcării de rotaţie a particulei i se poate asocia un curent electric cu intensitatea:

$I = v_c e = \frac {\omega_c}{2 \pi} e = \frac {e^2 B_0}{2 \pi m}$   (21)

căruia îi corespunde un moment magnetic:

$\mu_m = I \cdot S = I \cdot \pi r_c^2 = \frac {m v_{0 \bot}^2}{2} \cdot \frac {1}{B_0}$   (22)

Dar, factorul $\frac {m v_{0 \bot}^2}{2}$ reprezintă energia cinetică asociată mişcării circulare în planul perpendicular pe câmpul magnetic, pe care o notăm cu $W_\bot$ . Ţinând seama de faptul că sensul câmpului magnetic generat de curentul I este contrar sensului câmpului magnetic exterior, expresia momentului magnetic se poate scrie sub forma vectorială:

$\vec {\mu_m} = - \frac {W_\bot}{B_0^2} \vec{B_0}$   (23)

Dacă n este densitatea de particule încărcate din plasmă, expresia magnetizării plasmei (care este momentul magnetic al unităţii de volum) va fi:

$\vec M = -n \frac {W_\bot}{B^2_0} \vec {B_0}$   (24)

Deoarece vectorii $\vec{M}$ şi $\vec {B_0}$ sunt antiparaleli, se poate afirma că plasma are proprietăţi diamagnetice. Totodată, deoarece $v_{0 \bot}$ este o mărime constantă ca modul, rezultă că şi momentul magnetic asociat particulei va fi constant în timp. Aşadar, momentul magnetic al unei particule care se deplasează într-un câmp magnetic static şi omogen este constant. Deoarece şi raza traiectoriei circulare, r_c, este constantă, înseamnă că şi fluxul magnetic printr-o spiră Larmor va fi constant:

$\Phi_m = \pi r c^2 B_0 = \pi \cdot \frac {m^2 v^2_0}{e^2 B^2_0} = \frac {2 \pi m}{e^2} \cdot \mu_m$   (25)

Câmp magnetic static cu mici variaţii spaţiale

Să considerăm un electron care intră într-o configuraţie de câmp magnetic $\vec{B}$ care prezintă mici variaţii numai după coordonatele cilindrice z şi r' (Fig.3.4). De asemenea, presupunem că în timpul efectuării unei rotaţii intensitatea sa nu se modifică $\left ( \frac {\delta B}{\delta \phi} = 0 \right )$.

Fig.3.4 – Particulă încărcată în cîmp magnetic static cu mici variaţii spaţiale.

Consideră ecuaţia lui Maxwell, $\nabla \vec B = 0$, în coordonate cilindrice:

$\frac {1}{r} \frac {\delta}{\delta r} (r B_r) + \frac {1}{r} \frac {\delta B_{\phi}}{\delta \phi} + \frac {\delta B_z}{\delta z} = 0$   '(26)

care, în virtutea presupunerilor făcute, devine:

$\frac {1}{r} \frac {\delta}{\delta r} (r B_r) + \frac {\delta B_z}{\delta z} = 0$   (27)

Avînd în vedere faptul că mişcarea va avea loc pe o traiectorie curbilinie şi presupunând că variaţia câmpului magnetic pe direcţia z este constantă în timpul unei rotaţii $\left ( \frac {\delta B_z}{\delta z} = const. = \frac {d B}{d z} \right )$, ecuaţia (27) se poate integra între limitele $0$ şi $r_c$:

$\int_0^{r_c} {\frac {\delta}{\delta r} (r B_r) \cdot dr} + \frac {d B_z}{d z} \int_0^{r_c} {r \cdot dr} = 0$   (28)

obţinându-se următoarea expresie pentru componenta radială $B_{r}$ a câmpului magnetic:

$B_r = - \frac {1}{2} r_c \frac {d B_z}{d z}$   (29)

Datorită acestei componente a câmpului magnetic (aflată în planul xOy), asupra electronului va acţiona o forţă Lorentz în direcţia Oz:

$\vec {F_z} = - e (\vec {v_ \bot \times \vec{B_r}})$   (30)

Ţinând seama de expresiile (18), (22) şi (29) se obţine pentru această forţă următoarea expresie:

$F_z = - \frac {1}{B_z} \cdot \frac {m v^2_{\bot}}{2} \cdot \frac {d B_z}{dz} = - \mu_m \cdot \frac {d B_z}{dz}$   (31)

Semnul "-" arată că forţa $F_z \!$ are semn opus variaţiei $\frac {dB_z}{dz}$ a câmpului magnetic, adică este orientată întotdeauna spre câmpuri mai slabe. Această forţă frânează electronul în mişcarea sa pe direcţia Oz şi este posibil ca la un moment dat să devină atât de mare încât să-l determine pe acesta să-şi schimbe direcţia mişcării şi să se întoarcă înapoi spre câmpuri magnetice mai slabe. Fenomenul se petrece ca şi cum planul în care orbitează particula este reflectat, schimbându-şi sensul de deplasare. De aceea, o astfel de configuraţie de câmp magnetic poartă denumirea de oglindă magnetică sau dop magnetic (Fig.3.5). Oglinzile magnetice sunt folosite pentru realizarea capcanelor magnetice şi mărirea temperaturii plasmei, aspecte despre care vom vorbi ceva mai târziu

Forţa $F_z \!$ efectuează un lucru mecanic asupra particulei, determinând variaţia energiei cinetice corespunzătoare mişcării pe direcţia Oz a acesteia:

$\frac {d W_{\|}}{dz} = F_z = - \mu_m \cdot \frac {d B_z}{dz}$   (32)

Pe de altă parte, fiind vorba despre un câmp magnetic static, energia cinetică totală a particulei se conservă

$\left ( W = W_{\|} + W_{\bot} = const. \right )$   (33)

ceea ce înseamnă că o micşorare a vitezei de translaţie va fi compensată de o mărire a vitezei de rotaţie şi invers, adică:

$\frac {d W_{\bot}}{dz} = - \frac {d W_{\|}}{dz} = \mu_m \cdot \frac {d B_z}{dz}$   (34)

Ţinând seama de expresia lui $\mu_m \!$, se poate scrie ecuaţia:

$\frac {1}{W_\bot} \cdot \frac {d W_{\bot}}{dz} = \frac {1}{B_z} \cdot \frac {d B_z}{dz}$   (35)

care, după integrare, devine:

$\ln \frac {W_{\bot}}{B_z} = const.$   (36)

ceea ce înseamnă de fapt conservarea momentului magnetic:

$\mu_m = \frac {W_{\bot}}{B_z} = const.$   (37)

Cu alte cuvinte, se poate afirma că în câmpuri magnetice statice şi lent variabile spaţial momentul magnetic al unei spire Larmor se comportă ca un invariant al mişcării după axa Oz. Invarianţa momentului magnetic atrage după sine invarianţa fluxului magnetic printr-o spiră Larmor:

$\Phi_m = \frac {2 \pi m}{e^2} \cdot \mu_m$   (38)

O pereche de două oglinzi magnetice, aşa cum este cea prezentată în Fig.3.6, poartă denumirea de capcană magnetică. Particulele încărcate, accelerate în prealabil la energii mari, pot fi introduse în capcana magnetică unde vor participa la procesele caracteristice plasmei, contribuind la creşterea gradului de ionizare şi temperaturii plasmei. Ele pot fi menţinute în interiorul unei astfel de configuraţii de linii de câmp magnetic, reflectându-se succesiv pe cele două oglinzi. Plasma va fi menţinută într-un spaţiu limitat, câmpul magnetic putând fi configurat astfel încât aceasta sa nu vină în contact cu pereţii incintei de descărcare. Acest lucru este foarte important în instalaţiile termonucleare în care temperaturile extrem de mari ar putea determina distrugerea acestora. Este important să ştim cum trebuie introdusă particula încărcată într-o capcană magnetică şi cît de mare trebuie să fie câmpul magnetic în zona oglinzilor pentru ca aceasta, odată introdusă în capcană, să nu o mai părăsească. Din relaţia (31) se vede că în lungul axei Oz, unde $\frac {d B_z}{dz} = 0 \!$ forţa $F_z \!$ este nulă, ceea ce înseamnă că o particulă care intră pe direcţia ei, dacă nu-şi va schimba direcţia de mişcare prin ciocniri, va părăsi capcana magnetică.

Să considerăm o particulă care intră într-o capcană magnetică cu viteza $\vec{v_o} \!$, sub un unghi $\theta_o \!$ faţă de direcţia Oz (Fig3.6). În zona de intrare, câmpul magnetic are intensitatea $\vec {B_0}$

În punctul de intrare, momentul magnetic al particulei va fi:

$\mu_{m0} = \frac {1}{B_0} \cdot \frac {m v_0^2 \sin ^2 {\theta_0}}{2}$   (39)

ntr-un punct oarecare de pe traiectoria sa, în care intensitatea câmpului magnetic este $\vec B\!$, viteza va fi orientată cu unghiul $\theta \!$ faţă de axa Oz, dar va rămâne constantă în modul. Momentul magnetic al particulei va fi:

$\mu_m = \frac {1}{B} \cdot \frac {m v_0^2 \sin ^2 {\theta_0}}{2}$   (40)

Momentul magnetic conservându-se, din egalitatea ultimelor două relaţii rezultă pentru unghiul $\theta \!$ expresia:

$\sin \theta = \sqrt {\frac {B}{B_0}} \sin {\theta_0}$   (41)

Condiţia minimă de reflexie a particulei pe o oglindă magnetică este

$\theta=\frac{\pi}{2}$   (42)

Astfel, din relaţia (3.34) poate fi determinată mărimea pe care trebuie să o aibă câmpul magnetic în zona oglinzii, pentru ca reflexia să poată avea loc:

$B_{max} = \frac {B_0}{\sin ^2 {\theta_0}}$   (43)

sau, dacă se cunosc $B_0 \!$ şi $B_{max} \!$, se poate determina unghiul minim sub care trebuie introdusă particula în capcană pentru ca ea să nu o mai poată părăsi:

$\theta_{0 \; min} = \arcsin \sqrt {\frac {B_0}{B_{max}}}$   ()

Este evident că direcţia de mişcare a particulei poate fi modificată prin ciocniri, astfel încât este posibil ca o particulă care intră în capcană sub un unghi mai mare decât $\theta _ {0 \; min}$ să scape din ea, după cum este posibil ca o particulă care intră sub un unghi mai mic decât $\theta _ {0 min}$ să fie reflectată de câmpul magnetic.

Ca o concluzie generală, se poate afirma că în câmpurile magnetice statice cu mici variaţii spaţiale, o particulă ionizată este accelerată pe direcţia orbitală atunci când pătrunde în câmpuri mai intense şi pe direcţia longitudinală atunci când se îndreaptă spre câmpuri magnetice mai slabe.

Vezi şi

• Mișcarea unei particule încărcate în câmp electromagnetic
• Mișcarea electronului în câmp electromagnetic
• Mișcarea unei particule încărcate în câmp electric alternativ