Fandom

Math Wiki

Epicicloidă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Epicicloida cu r2=2r1.gif
Epicicloida cu w1=30w2.gif

DEFINIŢIE. Epicicloida este curba descrisă de un punct de pe un cerc care rulează, fără să alunece, pe un alt cerc exterior fix.

Fie cercul cu centrul în O’ de rază b care rulează pe cercul fix cu centrul în O şi de rază a. Se alege reperul xOy cu originea în centrul O, iar axele, doi diametri perpendiculari, astfel încât axa Ox sa treacă prin punctul A, punct iniţial de contact între cercurile considerate.

Se consideră rularea cercului O’ din poziţia A într-o poziţie arbitrară, cu N punct de contact. Punctul A va trece în punctul M (fig. 1.5). Se notează:

Trasare epicicloida.png
\phi = \widehat {NOx}, \; \phi' = \widehat {NO'M} \!

are loc:

\overset{\frown}{AN} = \overset{\frown}{NM}, \!

adică a \phi = b \phi' \! de unde \phi' = \frac a b \phi \! şi deci  \phi + \phi' = \frac {a+b}{b} \phi, \! relaţie care se va utiliza în cele ce urmează.

din triunghiul OMO' rezultă relaţia:

\overline {OM} = \overline {OO'} + \overline {O'M}, \!

care, prin proiectare pe axele de coordonate, unde x, y sunt coordonatele carteziene ale punctului M al epicicloidei, conduce la:

x=pr_{Ox} \overline {OO'} + pr_{Ox} \overline {O'M}, \; \; y= pr_{Oy} \overline {OO'} + pr_{Oy} \overline {O'M} \!

Dar

pr_{Ox} \overline {OO'} = \overline{OO'} \cdot \overline i = (a+b) \cos \phi, \; \; pr_{Oy} \overline{OO'} = (a+b) \sin \phi, \!
pr_{Ox} \overline {O'M}= pr_{O'x'} \overline {O'M} = b \cos \widehat {(MO'x')} = b \cos (\phi + \phi' - 180^{\circ}) =  \!

=-b \cos (\phi + \phi') = -b \cos \frac{a+b}{b} \phi, \!

pr_{Oy} \overline {O'M} = b \sin (\widehat {MO'x'}) = b \sin (\phi + \phi' - 180^{\circ}) = -b \sin (\phi + \phi') =   \!

-b \sin \frac {a+b}{b} \phi. \!

Deoarece:

\widehat {MO'N} = \widehat {MO'x'} + \widehat {x'O'N}, \!

adică

\phi' = \widehat {MO'x'} + 180^{\circ} - \phi, \!

rezultă:

\widehat{MO'x'} = \phi' + \phi - 180^{\circ}, \!

relaţie ce a fost folosită.

În acest fel se obţine reprezentarea parametrică a epicicloidei sub forma:

 \!


(\Gamma): \; \begin{cases} x= (a+b) \cos \phi - b \cos \frac {a+b}{b} \phi, \\ y=(a+b) \sin \phi - b \sin \frac {a+b}{b} \phi .  \end{cases} \!

Vezi şi Edit

Legături externe Edit

Also on Fandom

Random Wiki