FANDOM


Epicicloida cu r2=2r1
Epicicloida cu w1=30w2

DEFINIŢIE. Epicicloida este curba descrisă de un punct de pe un cerc care rulează, fără să alunece, pe un alt cerc exterior fix.

Fie cercul cu centrul în O’ de rază b care rulează pe cercul fix cu centrul în O şi de rază a. Se alege reperul xOy cu originea în centrul O, iar axele, doi diametri perpendiculari, astfel încât axa Ox sa treacă prin punctul A, punct iniţial de contact între cercurile considerate.

Se consideră rularea cercului O’ din poziţia A într-o poziţie arbitrară, cu N punct de contact. Punctul A va trece în punctul M (fig. 1.5). Se notează:

Trasare epicicloida
$ \phi = \widehat {NOx}, \; \phi' = \widehat {NO'M} \! $

are loc:

$ \overset{\frown}{AN} = \overset{\frown}{NM}, \! $

adică $ a \phi = b \phi' \! $ de unde $ \phi' = \frac a b \phi \! $ şi deci $ \phi + \phi' = \frac {a+b}{b} \phi, \! $ relaţie care se va utiliza în cele ce urmează.

din triunghiul OMO' rezultă relaţia:

$ \overline {OM} = \overline {OO'} + \overline {O'M}, \! $

care, prin proiectare pe axele de coordonate, unde x, y sunt coordonatele carteziene ale punctului M al epicicloidei, conduce la:

$ x=pr_{Ox} \overline {OO'} + pr_{Ox} \overline {O'M}, \; \; y= pr_{Oy} \overline {OO'} + pr_{Oy} \overline {O'M} \! $

Dar

$ pr_{Ox} \overline {OO'} = \overline{OO'} \cdot \overline i = (a+b) \cos \phi, \; \; pr_{Oy} \overline{OO'} = (a+b) \sin \phi, \! $
$ pr_{Ox} \overline {O'M}= pr_{O'x'} \overline {O'M} = b \cos \widehat {(MO'x')} = b \cos (\phi + \phi' - 180^{\circ}) = \! $

$ =-b \cos (\phi + \phi') = -b \cos \frac{a+b}{b} \phi, \! $

$ pr_{Oy} \overline {O'M} = b \sin (\widehat {MO'x'}) = b \sin (\phi + \phi' - 180^{\circ}) = -b \sin (\phi + \phi') = \! $

$ -b \sin \frac {a+b}{b} \phi. \! $

Deoarece:

$ \widehat {MO'N} = \widehat {MO'x'} + \widehat {x'O'N}, \! $

adică

$ \phi' = \widehat {MO'x'} + 180^{\circ} - \phi, \! $

rezultă:

$ \widehat{MO'x'} = \phi' + \phi - 180^{\circ}, \! $

relaţie ce a fost folosită.

În acest fel se obţine reprezentarea parametrică a epicicloidei sub forma:

$ \! $


$ (\Gamma): \; \begin{cases} x= (a+b) \cos \phi - b \cos \frac {a+b}{b} \phi, \\ y=(a+b) \sin \phi - b \sin \frac {a+b}{b} \phi . \end{cases} \! $

Vezi şi Edit

Legături externe Edit