FANDOM


Ellipsemovie

Fie $ E_2 \! $ spaţiul punctual euclidian şi $ \{O, \bar i, \bar j \} (xOy) \! $ un reper cartezian ortonormat.

Definiţie. Elipsa este locul geometric al punctelor din planul euclidian a căror sumă a distanţelor la două puncte fixe $ F_1 \! $ şi $ F_2 \! $ este constantă.

Fie $ a, c \in \mathbb R_+ \! $ şi punctele $ F_1 (-c, 0), F_2(c, 0) \in E_2. \! $ Coordonatele oricărui punct $ M(x, y) \in E_2 \! $ satisfac ecuaţia:

Reprezentarea elipsei
$ (A_1) \! $    $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -1=0, \; c = \sqrt {a^2 - b^2}. \! $

Ecuaţia $ (A_1) \! $ este ecuaţia carteziană a elipsei.


Ecuaţiile parametrice:

$ \begin{cases} x = a \cos \varphi, & \\ & \varphi \in [0, 2 \pi] \\ y=b \sin \varphi & \end{cases} \! $

Elementele principale ale elipsei sunt:

  • punctele $ F_1, F_2 \! $: focarele elipsei;
  • $ \delta (F_1, F_2) = 2c \! $: distanţa focală
  • a - semiaxa mare
  • b - semiaxa mică
  • vârfurile elipsei: $ A(a, 0), A'(-a, 0), B(b, 0), B'(-b, 0) \! $
  • dreptele directoare: $ x = \pm \frac{a^2}{c}. \! $
  • excentricitatea: $ \frac c a < 1. \! $


Facem observaţia că axele Ox şi Oy ale reperului cartezian sunt axe de simetrie ale elipsei şi originea O a reperului este centrul elipsei. Din acest motiv, reperul ortonormat xOy se numeşte canonic iar ecuaţia $ (A_1) \! $ se numeşte redusă.


Elipsa, caracterizată prin ecuaţia $ (A_1) \! $, reprezintă locul geometric al punctelor M(x, y) care satisfac una din relaţiile:

$ \frac{\|\overline{MF_1} \|}{\delta (M, d_1)}= e \! $ sau $ \frac{\|\overline{MF_2} \|}{\delta (M, d_2)} =e. \! $

De asemenea, se poate demonstra că perpendiculara pe tangentă într-un punct oarecare al elipsei este bisectoare a unghiului razelor focale în acest punct (proprietatea optică a elipsei).

Reprezentare elipsa

Ecuaţia tangentei de pantă m:

$ y = mx \pm \sqrt {a^2 m^2 + b^2}. \! $

Ecuaţia tangentei în punctul $ M(x_0, y_0) \! $ (punct ce aparţine elipsei!):

$ \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1, \; \; m = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac {x_0}{y_0}. \! $

Pentru a determina ecuaţia tangentei la elipsă dintr-un punct exterior acesteia avem variantele:

1. Se scrie ecuaţia tangentei de pantă dată şi se pune condiţia ca punctul să aparţină tangentei.

2. Se rezolvă sistemul:

$ y - y_0 = m(x-x_0) \! $
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \! $

cu condiţia $ \Delta =0. \! $


Sector de elipsa

Aria sectorului haşurat din figură este:

$ A= \frac 1 2 ab \theta = \frac 1 2 ab \arccos \frac x a. \! $

Pe aceeaşi figură, lungimea arcului cuprins între punctele $ (a, 0) \! $ şi $ (a \cos \theta, b \sin \theta) \! $ este:

$ L = a(E \frac{\pi}{2} - E (\frac{\pi}{2} - \theta, e)), \! $

unde E este integrală eliptică.

În particular, pentru $ \theta = 2 \pi, \! $ avem:

$ A = \pi ab, \! $
$ Perimetrul = 4a E (\frac{\pi}{2}, e). \! $

Proprietăţi geometrice Edit

P 246 anim

Se dau: cercul $ \mathcal C (M, r) \! $ şi punctul G în interiorul cercului. Atunci locul geometric al punctelor aflate la aceeaşi distanţă de $ \mathcal C(M, r) \! $ şi G este o elipsă.

Vezi şi Edit

Resurse Edit