Fandom

Math Wiki

Elipsă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ellipsemovie.gif

Fie E_2 \! spaţiul punctual euclidian şi \{O, \bar i, \bar j \} (xOy) \! un reper cartezian ortonormat.

Definiţie. Elipsa este locul geometric al punctelor din planul euclidian a căror sumă a distanţelor la două puncte fixe F_1 \! şi F_2 \! este constantă.

Fie a, c \in \mathbb R_+ \! şi punctele F_1 (-c, 0),  F_2(c, 0) \in E_2. \! Coordonatele oricărui punct M(x, y) \in E_2 \! satisfac ecuaţia:

Reprezentarea elipsei.png
(A_1) \!    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -1=0, \; c = \sqrt {a^2 - b^2}. \!

Ecuaţia (A_1) \! este ecuaţia carteziană a elipsei.


Ecuaţiile parametrice:

\begin{cases} x = a \cos \varphi, & \\  & \varphi \in [0, 2 \pi] \\ y=b \sin \varphi & \end{cases} \!

Elementele principale ale elipsei sunt:

  • punctele F_1, F_2 \!: focarele elipsei;
  • \delta (F_1, F_2) = 2c \!: distanţa focală
  • a - semiaxa mare
  • b - semiaxa mică
  • vârfurile elipsei: A(a, 0), A'(-a, 0), B(b, 0), B'(-b, 0) \!
  • dreptele directoare: x = \pm \frac{a^2}{c}. \!
  • excentricitatea: \frac c a < 1. \!


Facem observaţia că axele Ox şi Oy ale reperului cartezian sunt axe de simetrie ale elipsei şi originea O a reperului este centrul elipsei. Din acest motiv, reperul ortonormat xOy se numeşte canonic iar ecuaţia (A_1) \! se numeşte redusă.


Elipsa, caracterizată prin ecuaţia (A_1) \!, reprezintă locul geometric al punctelor M(x, y) care satisfac una din relaţiile:

\frac{\|\overline{MF_1} \|}{\delta (M, d_1)}= e \! sau \frac{\|\overline{MF_2} \|}{\delta (M, d_2)} =e. \!

De asemenea, se poate demonstra că perpendiculara pe tangentă într-un punct oarecare al elipsei este bisectoare a unghiului razelor focale în acest punct (proprietatea optică a elipsei).

Reprezentare elipsa.png

Ecuaţia tangentei de pantă m:

y = mx \pm \sqrt {a^2 m^2 + b^2}. \!

Ecuaţia tangentei în punctul M(x_0, y_0) \! (punct ce aparţine elipsei!):

\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1, \; \; m = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac {x_0}{y_0}. \!

Pentru a determina ecuaţia tangentei la elipsă dintr-un punct exterior acesteia avem variantele:

1. Se scrie ecuaţia tangentei de pantă dată şi se pune condiţia ca punctul să aparţină tangentei.

2. Se rezolvă sistemul:

y - y_0 = m(x-x_0) \!
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \!

cu condiţia \Delta =0. \!


Sector de elipsa.png

Aria sectorului haşurat din figură este:

A= \frac 1 2 ab \theta = \frac 1 2 ab \arccos \frac x a.  \!

Pe aceeaşi figură, lungimea arcului cuprins între punctele (a, 0) \! şi (a \cos \theta, b \sin \theta) \! este:

L = a(E \frac{\pi}{2} - E (\frac{\pi}{2} - \theta, e)), \!

unde E este integrală eliptică.

În particular, pentru \theta = 2 \pi, \! avem:

A = \pi ab, \!
Perimetrul = 4a E (\frac{\pi}{2}, e). \!

Proprietăţi geometrice Edit

P 246 anim.gif

Se dau: cercul \mathcal C (M, r) \! şi punctul G în interiorul cercului. Atunci locul geometric al punctelor aflate la aceeaşi distanţă de \mathcal C(M, r) \! şi G este o elipsă.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki