Fandom

Math Wiki

Ecuațiile canonice ale lui Hamilton

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

În cadrul formalismului Lagrange starea unui sistem mecanic este descrisă de coordonatele generalizate q_i, \! care dau configuraţia sistemului, precum şi de vitezele generalizate \dot q_i \! corespunzătoare fiecărei coordonate generalizate. Acestea alcătuiesc un sistem de 2f parametri independenţi care o dată rezolvate ecuaţiile Lagrange şi cunoscute condiţiile iniţiale sunt perfect determinaţi şi definesc complet starea sistemului.

Se pot alege însă alături de coordonatele generalizate şi alţi parametrii decât vitezele generalizate pentru a descrie starea sistemului şi anume impulsurile generalizate.

Astfel, ansamblul acestor 2f parametri, adică f coordonate generalizate şi impulsuri generalizate, defineşte un spaţiu cu 2f dimensiuni, numit spaţiul fazelor. Un punct din spaţiul fazelor descrie complet starea sistemului iar evoluţia sistemului mecanic se traduce prin traiectoria urmată de punctul reprezentativ al stării sistemului în acest spaţiu.

Spaţiul de configuraţie f dimensional, de coordonate q_i, \! reprezintă un subspaţiu al spaţiului fazelor şi defineşte doar configuraţia sistemului de puncte materiale spre deosebire de spaţiul fazelor 2f dimensional care defineşte starea dinamică a sistemului.

Fiecare din cele f perechi (p_i, q_i) \! poartă numele de variabile canonic conjugate.

Hamilton a definit o nouă funcţie de stare H, \! numită hamiltoniană, care depinde de variabilele canonice:

H(p, q, t) = \sum_{i=1}^f p_i \dot q_i - L (q, \dot q, t) \!   (40)

unde în expresia lui H s-a notat pe scurt ansamblul celor f coordonate generalizate cu q şi, respectiv, impulsurile generalizate cu p.

Cu ajutorul hamiltonienei se poate obţine o nouă formă a ecuaţiilor de mişcare pornind tot de la principiul lui Hamilton, dar acum acţiunea este exprimată în funcţie de H:

S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t) dt = \int_{t_1}^{t_2} \left [ \sum_{i=1}^f p_i \dot q_i - H(p, q, t) \right ] dt. \!   (41)

Să calculăm acum variaţia lui S:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta \left [ \sum_{i=1}^{f} p_i \dot q_i - H(p, q, t) \right ] dt = \!
= \int_{t_1}^{t_2} \left [ \sum_{i=1}^f p_i \delta \dot q_i + \sum_{i=1}^f q_i \delta \dot p_i - \sum \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \sum \frac{\partial H}{\partial p_i} \delta p_i \right ] dt. \!

Calculând prin părţi integrala unui termen din prima sumă şi ţinând seama că \delta q_i (t_1) \equiv 0, \; \;  \delta q_i (t_2) \equiv 0, \! obţinem:

\int_{t_1}^{t_2} p_i \delta \dot q_i dt = \int_{t_1}^{t_2} p_i \frac{d}{dt} \delta q_i dt = p_i \delta q_i |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{dp_i}{dt} \delta q_i dt = \int_{t_1}^{t_2} - \dot p_i \delta q_i dt. \!

Astfel, principiul lui Hamilton se scrie::

\int_{t_1}^{t_2} \left [ - \sum \left ( \dot p_i + \frac{\partial H}{\partial q_i} +  \right ) \delta q_i + \sum \left (  \dot q_i - \frac{\partial H}{\partial p_i} \right ) \delta p_i \right ] dt =0. \!

Pentru ca integrala să fie nulă oricare ar fi variaţiile \delta q_i \! şi \delta p_i \! independente trebuie ca fiecare paranteză de sub sumele de mai sus să fie nulă, ceea ce implică:

\begin{matrix} \dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \\ \\ \dot q_i = - \frac{\partial H}{\partial p_i} \end{matrix} \!   (42)

Acest sistem de 2f ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi pentru variabilele canonice p_i \! şi q_i \! constituie ecuaţiile canonice ale lui Hamilton. Prin integrarea ecuaţiilor Hamilton se obţin expresiile explicite ale variabilelor canonice care conţin 2f constante de integrare ce pot fi determinate dacă se cunosc condiţiile iniţiale ale mişcării:

p_i  =p_i (t, C_1, \cdots , C_{2f}) \!
q_i  =q_i (t, C_1, \cdots , C_{2f}) \!


Pentru sistemele izolate, sau care se mişcă în câmpuri de forţe conservative, una dintre constantele de integrare arbitrare poate fi ales momentul de timp t_0, \! astfel că p_i = p_i (t_0, C_1, \cdots , C_{2f-1}) \! şi q_i = q_i (t_0, C_1, \cdots , C_{2f-1}). \! Dacă se elimină timpul între cele 2f ecuaţii reprezentate de expresiile variabilelor canonice se pot obţine cele 2f-1 \! constante arbitrare ca funcţii de variabilele canonice:

C_K = C_k (p_1, \cdots , p_f; q_1, \cdots q_f) \! unde k = 1, \cdots 2f-1. \!

Aceste mărimi îşi păstrează valoarea constantă în timpul mişcării şi se numesc integrale prime ale mişcării. Ele satisfac condiţiile:

\frac{dC_k}{dt} =0 , \; \; \frac{\partial C_k}{\partial t} = 0. \!


Pentru punctele materiale libere a căror mişcare este raportată la un referenţial cartezian, ecuaţiile lui Hamilton sunt:

\begin{matrix} \dot {\vec p_j} = - \frac {\partial H}{\partial \vec r_j} \\ \\ \dot {\vec r_j} = \frac {\partial H}{\partial \vec p_j}. \end{matrix} \!   (43)

O altă alternativă de obţinere a ecuaţiilor de mişcare o reprezintă ecuaţia Hamilton – Jacobi care poate fi obţinută plecând de la acţiunea S definită în funcţie de H:

dS = \sum p_i dq_i - H dt \!   (44)

astfel că S este o funcţie doar de q_i \! şi t. Atunci, calculând diferenţiala funcţiei S(q_i, t), \! obţinem:

dS = \sum \frac{\partial S}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial S}{\partial t} dt \!   (45)

Prin identificarea coeficienţilor celor două expresii ale lui dS, \! rezultă:

\begin{matrix} p_i= \frac{\partial S}{\partial q_i} \\ \\ H-\frac{\partial S}{\partial t}.  \end{matrix} \!   (46)

În a doua ecuaţie (46), H+\frac{\partial S}{\partial t}=0, \! ţinând cont de faptul că H=H(p_i, q_i, t), \! se înlocuiesc impulsurile p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}, \! şi se obţine ecuaţia Hamilton – Jacobi:

H \left (  q_1, \cdots , q_f; \frac{\partial S}{\partial q_1} , \cdots , \frac{\partial S}{\partial q_f}; t \right ) + \frac{\partial S}{\partial t} =0. \!   (47)

Ecuaţia Hamilton – Jacobi, a cărei metodă de integrare este în general mai dificilă, este echivalentă cu ecuaţiile Lagrange şi Hamilton.

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki