Ecuațiile câmpului electric

Ecuaţiile câmpului electrostatic

Ne referim la câmpul electrostatic dintr-un mediu liniar, izotrop şi fără polarizare electrică permanentă, pentru care redăm ecuaţiile care conduc la o soluţie unică. Domeniul de existenţă al câmpului extins la infinit, unde câmpul este nul.

Ecuaţiile intensităţii câmpului electrostatic ${\vec {E}}.\!$ Acestea sunt cele corespunzătoare formelor diferenţiale (locale) ale legilor/teoremelor, valabile în câmpul electrostatic, adică:

$div{\vec {E}}={\frac {r_{v}+r_{v'}}{e_{0}}},\;\;\;rot{\vec {E}}=0,\;\;\;{\vec {E}}_{n\ddagger }=0.\!$   (1)

Prima dintre aceste ecuaţii reprezintă forma diferenţială a teoremei lui Gauss, cea de-a doua ecuaţie reprezintă forma diferenţială a legii inducţiei electromagnetice, particularizată pentru câmpul electrostatic (teorema potenţialului electrostatic), iar a treia ecuaţie evidenţiază că la infinit câmpul este nul.

Dacă în volumul $v_z \!$ al domeniului există singularităţi în punctele unor suprafeţe de limită (de separaţie dintre medii diferite), în punctele unor curbe sau în puncte propriu-zise, atunci, la ecuaţiile (1) se adaugă ecuaţiile condiţiilor de limită:

$div{\vec {E}}={\frac {r_{s}+r'_{s}}{e_{0}}},\;\;div_{l}{\vec {E}}={\frac {r_{l}}{e_{0}}},\;\;div_{p}{\vec {E}}={\frac {Q_{p}}{e_{0}}};\;\;rot_{s}{\vec {E}}=0\!$   (2)

Aceste ecuaţii sunt folosite la excluderea singularităţilor din domeniul în care se studiază câmpul.

Întrucât divergenţa vectorului $\vec E\!$ este nulă în toate punctele câmpului electrostatic, acest câmp este de natură eminamente potenţială. Ca urmare, vectorul intensităţii acestui câmp derivă din funcţia scalară de spaţiu V, numită potenţialul electrostatic, prin relaţia ${\vec {E}}=-grad\;V.\!$

Grupurile de ecuaţii (1) şi (2) constituie condiţiile de existenţă ale vectorului intensităţii câmpului electrostatic $\vec E\!$ din domeniul considerat.

Ecuaţiile inucţiei electrice $\vec D\!$ sunt:

$div{\vec {D}}=r_{v},\;\;rot{\vec {D}}\ {}^{1}\;0\;\;\;{\vec {D}}_{n\ddagger }=0\!$   (3)

Prima dintre aceste ecuaţii reprezintă forma diferenţială (locală) a legii fluxului electric, cea de-a doua este o inegalitate deoarece în mediul neomogen luat în considerare $\varepsilon \neq const.,\!$ şi $rot{\vec {D}}=rot(e{\vec {E}})=grad\;e{\vec {E}}+e\;rot{\overset {1}{E}}={\vec {E}}grd\;e^{1}\;0,\!$ unde s-a înlocuit $rotvecE\neq 0.\!$ Deci, vectorul inducţiei electrice $\vec D\!$ al câmpului electrostatic dintr-un mediu neomogen are atât o componentă potenţială, cât şi o componentă solenoidală. Dacă mediul este omogen, atunci componenta solenoidală a lui $\vec D\!$ este nulă.

Ecuaţiile corespunzătoare condiţiilor de limită pentru câmpul de vectori $\vec D\!$ sunt:

$div_{s}{\vec {D}}=r_{s},\;\;div_{l}{\vec {D}}=r_{l},\;\;div_{p}{\vec {D}}=Q_{p};\;\;rot_{s}{\vec {D}}{}^{1}\;0.\!$   (4)

În cazul suprafeţelor corpurilor nepolarizate electric, situate într-un mediu nepolarizabil, corpurile fiind încărcate numai cu sarcini volumetrice, ecuaţiile sunt:

$div_{s}{\vec {E}}=0,\;\;\;rot_{s}{\vec {E}}=0;\!$  (5)

$div_{s}{\vec {D}}=0,\;\;\;rot_{s}{\vec {D}}=0.\!$  (6)

Deci suprafeţele respective nu constituie discontinuităţi pentru componentele normale şi/sau tangente ale lui $\vec E, \!$ resectiv ale lui $\vec D. \!$