FANDOM


Ecuația diferențială de tip Clairaut este o ecuație diferențială de forma:

$ y= xy' + \phi (y'), \! $   (1)

unde $ \phi \! $ este o funcție de clasă $ \mathfrak C^{(1)} \! $ pe un interval J.

Notând $ y' = p \;\! $ ecuația devine $ y=x \cdot p + \phi (p). \! $

Derivând în raport cu x obținem: $ p = p + x \frac {dp}{dx} + \phi' (p) \frac {dp}{dx}, \! $ deci

$ [ x+ \phi' (p)] \frac {dp}{dx} = 0. \! $

Dacă $ \frac {dp}{dx} = 0, \! $ rezultă p = C și mai departe

$ y= Cx + \phi (C). \! $   (2)

Familia de soluții (2) reprezintă soluția generală a ecuației (1). Din punct de vedere geometric, curbele integrale corespunzătoare acestei soluții sunt drepte. Pe de altă parte, din $ x+ \phi' (p) $ obținem soluția singulară (sub formă parametrică):

$ \begin{cases} x = - \phi' (p) \\ y= - p \phi' (p) + \phi (p) \end{cases} $   (3)

Curba integrală corespunzătoare soluției singulare (3) este înfășurătoarea familiei de drepte (2).

Exemplul 1.2.7. Să se integreze ecuația diferențială de tip Clairaut:

$ y= xy' - \frac {y'^2}{2}. \! $

Soluția generală este $ y= Cx - \frac {C^2}{2}, \; C \in \mathbb R. \! $

Soluția singulară sub formă parametrică este:

$ \begin{cases} x = p \\ y = \frac {p^2}{2} \end{cases} $

Eliminând pe p între cele două ecuații parametrice, obținem $ y= \frac {x^2}{2}, \! $ adică o parabolă, care este înfășurătoarea familiei de drepte $ y = C x - \frac {C^2}{2}, \; C \in \mathbb R \! $ (fig. 1).