Fandom

Math Wiki

Ecuații diferențiale de tip Clairaut

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuația diferențială de tip Clairaut este o ecuație diferențială de forma:

y= xy' + \phi (y'),  \!   (1)

unde  \phi  \! este o funcție de clasă  \mathfrak C^{(1)}  \! pe un interval J.

Notând  y' = p  \;\! ecuația devine  y=x \cdot p + \phi (p).  \!

Derivând în raport cu x obținem: p = p + x \frac {dp}{dx} + \phi' (p) \frac {dp}{dx},  \! deci

[ x+ \phi' (p)] \frac {dp}{dx} = 0.  \!

Dacă \frac {dp}{dx} = 0,  \! rezultă p = C și mai departe

 y= Cx + \phi (C). \!   (2)

Familia de soluții (2) reprezintă soluția generală a ecuației (1). Din punct de vedere geometric, curbele integrale corespunzătoare acestei soluții sunt drepte. Pe de altă parte, din x+ \phi' (p) obținem soluția singulară (sub formă parametrică):


\begin{cases}
x = - \phi' (p)
\\
y= - p \phi' (p) + \phi (p)
\end{cases}
  (3)

Curba integrală corespunzătoare soluției singulare (3) este înfășurătoarea familiei de drepte (2).

Exemplul 1.2.7. Să se integreze ecuația diferențială de tip Clairaut:

y= xy' - \frac {y'^2}{2}.  \!

Soluția generală este y= Cx - \frac {C^2}{2}, \; C \in \mathbb R.  \!

Soluția singulară sub formă parametrică este:


\begin{cases}
x = p
\\
y = \frac {p^2}{2}
\end{cases}

Eliminând pe p între cele două ecuații parametrice, obținem  y= \frac {x^2}{2},  \! adică o parabolă, care este înfășurătoarea familiei de drepte y = C x - \frac {C^2}{2}, \; C \in \mathbb R  \! (fig. 1).

Also on Fandom

Random Wiki