Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială omogenă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O ecuație diferențială omogenă este o ecuație diferențială de forma

y' = f \left (  \frac y x \right) , \!   (1)

unde f este o funcție continuă pe un interval  I, \; 0 \not \in I.  \!

Dacă notăm cu  u = \frac y x \! și considerăm u = u(x) noua funcție necunoscută, rezultă y(x)= xu(x)  \! și y' = u+ xu'.  \! În urma acestei schimbări de funcție necunoscută, ecuația (1) devine o ecuație cu variabile separabile, anume:

 u+ xu' = f(u). \!

Cazul f(u) =u se reduce la o ecuație cu variabile separabile și se rezolvă ca mai sus. Putem deci presupune că f(u) \neq u \!

Separând variabilele obținem:

\frac {du}{f(u) - u} = \frac {dx}{x}  \!

și mai departe:

\int \frac {du}{f(u) - u} = \ln |x|  + \ln | \mathcal C |, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \!

Exemplu. Să se găsească soluția ecuației diferențiale

y' = \frac y x + \left ( \frac y x  \right )^2, \; x \neq 0,  \!

care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1.

Notând cu u= \frac y x,  \! obținem  u+ xu' = u +u^2 \! sau xu' = u^2.  \! Presupunem, în continuare,  y \neq 0  .\! Ecuația diferențială xu' = u^2  \! se scrie sub forma \frac {du}{u^2} = \frac {dx}{x}.  \! Integrând, rezultă:

-\frac 1 u = \ln |x| + \ln | \mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*.  \!

și mai departe - \frac x y = \ln | \mathcal C| |x|, \; x \neq 0.  \! Din această relație se obțin soluțiile corespunzătoare diferitelor condiții inițiale. Impunând condiția y(2) = 1, se obține | \mathcal C| = \frac {1}{2 e^2},  \! care conduce la - \frac x y = -2 - \ln 2 + \ln |x|, x \neq 0.  \! Deoarece ne interesează cazul  x \in (0, \infty),  \! rezultă că soluția care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1 este y= \frac {x}{2 + \ln 2 - \ln x}, \; x \in (0, 2e^2).  \!

Also on Fandom

Random Wiki