FANDOM


O ecuație diferențială omogenă este o ecuație diferențială de forma

$ y' = f \left ( \frac y x \right) , \! $   (1)

unde f este o funcție continuă pe un interval $ I, \; 0 \not \in I. \! $

Dacă notăm cu $ u = \frac y x \! $ și considerăm u = u(x) noua funcție necunoscută, rezultă $ y(x)= xu(x) \! $ și $ y' = u+ xu'. \! $ În urma acestei schimbări de funcție necunoscută, ecuația (1) devine o ecuație cu variabile separabile, anume:

$ u+ xu' = f(u). \! $

Cazul f(u) =u se reduce la o ecuație cu variabile separabile și se rezolvă ca mai sus. Putem deci presupune că $ f(u) \neq u \! $

Separând variabilele obținem:

$ \frac {du}{f(u) - u} = \frac {dx}{x} \! $

și mai departe:

$ \int \frac {du}{f(u) - u} = \ln |x| + \ln | \mathcal C |, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \! $

Exemplu. Să se găsească soluția ecuației diferențiale

$ y' = \frac y x + \left ( \frac y x \right )^2, \; x \neq 0, \! $

care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1.

Notând cu $ u= \frac y x, \! $ obținem $ u+ xu' = u +u^2 \! $ sau $ xu' = u^2. \! $ Presupunem, în continuare, $ y \neq 0 .\! $ Ecuația diferențială $ xu' = u^2 \! $ se scrie sub forma $ \frac {du}{u^2} = \frac {dx}{x}. \! $ Integrând, rezultă:

$ -\frac 1 u = \ln |x| + \ln | \mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \! $

și mai departe $ - \frac x y = \ln | \mathcal C| |x|, \; x \neq 0. \! $ Din această relație se obțin soluțiile corespunzătoare diferitelor condiții inițiale. Impunând condiția y(2) = 1, se obține $ | \mathcal C| = \frac {1}{2 e^2}, \! $ care conduce la $ - \frac x y = -2 - \ln 2 + \ln |x|, x \neq 0. \! $ Deoarece ne interesează cazul $ x \in (0, \infty), \! $ rezultă că soluția care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1 este $ y= \frac {x}{2 + \ln 2 - \ln x}, \; x \in (0, 2e^2). \! $