FANDOM


O ecuație diferențială omogenă este o ecuație diferențială de forma

y' = f \left (  \frac y x \right) , \!   (1)

unde f este o funcție continuă pe un interval  I, \; 0 \not \in I.  \!

Dacă notăm cu  u = \frac y x \! și considerăm u = u(x) noua funcție necunoscută, rezultă y(x)= xu(x)  \! și y' = u+ xu'.  \! În urma acestei schimbări de funcție necunoscută, ecuația (1) devine o ecuație cu variabile separabile, anume:

 u+ xu' = f(u). \!

Cazul f(u) =u se reduce la o ecuație cu variabile separabile și se rezolvă ca mai sus. Putem deci presupune că f(u) \neq u \!

Separând variabilele obținem:

\frac {du}{f(u) - u} = \frac {dx}{x}  \!

și mai departe:

\int \frac {du}{f(u) - u} = \ln |x|  + \ln | \mathcal C |, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \!

Exemplu. Să se găsească soluția ecuației diferențiale

y' = \frac y x + \left ( \frac y x  \right )^2, \; x \neq 0,  \!

care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1.

Notând cu u= \frac y x,  \! obținem  u+ xu' = u +u^2 \! sau xu' = u^2.  \! Presupunem, în continuare,  y \neq 0  .\! Ecuația diferențială xu' = u^2  \! se scrie sub forma \frac {du}{u^2} = \frac {dx}{x}.  \! Integrând, rezultă:

-\frac 1 u = \ln |x| + \ln | \mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*.  \!

și mai departe - \frac x y = \ln | \mathcal C| |x|, \; x \neq 0.  \! Din această relație se obțin soluțiile corespunzătoare diferitelor condiții inițiale. Impunând condiția y(2) = 1, se obține | \mathcal C| = \frac {1}{2 e^2},  \! care conduce la - \frac x y = -2 - \ln 2 + \ln |x|, x \neq 0.  \! Deoarece ne interesează cazul  x \in (0, \infty),  \! rezultă că soluția care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1 este y= \frac {x}{2 + \ln 2 - \ln x}, \; x \in (0, 2e^2).  \!

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki