Ecuație diferențială omogenă

O ecuație diferențială omogenă este o ecuație diferențială de forma

$y' = f \left ( \frac y x \right) , \!$   (1)

unde f este o funcție continuă pe un interval $I, \; 0 \not \in I. \!$

Dacă notăm cu $u = \frac y x \!$ și considerăm u = u(x) noua funcție necunoscută, rezultă $y(x)= xu(x) \!$ și $y' = u+ xu'. \!$ În urma acestei schimbări de funcție necunoscută, ecuația (1) devine o ecuație cu variabile separabile, anume:

$u+ xu' = f(u). \!$

Cazul f(u) =u se reduce la o ecuație cu variabile separabile și se rezolvă ca mai sus. Putem deci presupune că $f(u) \neq u \!$

Separând variabilele obținem:

$\frac {du}{f(u) - u} = \frac {dx}{x} \!$

și mai departe:

$\int \frac {du}{f(u) - u} = \ln |x| + \ln | \mathcal C |, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \!$

Exemplu. Să se găsească soluția ecuației diferențiale

$y' = \frac y x + \left ( \frac y x \right )^2, \; x \neq 0, \!$

care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1.

Notând cu $u= \frac y x, \!$ obținem $u+ xu' = u +u^2 \!$ sau $xu' = u^2. \!$ Presupunem, în continuare, $y \neq 0 .\!$ Ecuația diferențială $xu' = u^2 \!$ se scrie sub forma $\frac {du}{u^2} = \frac {dx}{x}. \!$ Integrând, rezultă:

$-\frac 1 u = \ln |x| + \ln | \mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \!$

și mai departe $- \frac x y = \ln | \mathcal C| |x|, \; x \neq 0. \!$ Din această relație se obțin soluțiile corespunzătoare diferitelor condiții inițiale. Impunând condiția y(2) = 1, se obține $| \mathcal C| = \frac {1}{2 e^2}, \!$ care conduce la $- \frac x y = -2 - \ln 2 + \ln |x|, x \neq 0. \!$ Deoarece ne interesează cazul $x \in (0, \infty), \!$ rezultă că soluția care îndeplinește condiția inițială y(2) = 1 este $y= \frac {x}{2 + \ln 2 - \ln x}, \; x \in (0, 2e^2). \!$