Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială liniară de ordinul n

1.032pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

O ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuație diferențială de forma:

a_0(x) y^{(n)} +a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots +a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x), \; x \in I,  \!   (1)

unde a_0, a_1, \cdots , a_n, \; \; f  \! sunt funcții continue pe intervalul  I \subset \mathbb R  \! și  a_0(x) \neq 0, \; \forall x \in I. \!   (2)

Definiția 1.3.1. Spunem că o funcție \phi : I \rightarrow \mathbb R  \! este de clasă \mathfrak C^{(p)}  \! pe intervalul I­ dacă \phi  \! admite derivate până la ordinul p inclusiv și acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notația \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! De exemplu, \phi \in \mathfrak C^{(0)} (I)  \! dacă \phi  \! este continuă pe I, \phi \in \mathfrak C^{(1)} (I)  \! dacă există  \phi' \! și este continuă pe I etc.

Este evident că \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! este un subspațiu vectorial al spațiului vectorial al funcțiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota \mathcal F (I, \mathbb R).  \!

Definiția 1.3.2. Se numește soluție a ecuației diferențiale (1) orice funcție \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! care verifică ecuația, adică:

a_0(x) \phi^{(n)} + a_1(x) \phi^{(n-1)} +  \cdots  + a_{n-1}(x) \phi' + a_n(x) \phi = f(x), \; x \in I .  \!

Dacă notăm cu D operatorul de derivare \left (  D = \frac {d}{dx} \right ),  \! cu D^p, \; p \in \mathbb N^*  \! operatorul de derivare de ordinul p, D^p = {\underbrace {D \circ D \circ \cdots \circ D}}_{de\; n \; ori}= \frac {d^p}{dx^p}, \!

cu D^0  \! operatorul identitate \left (  D^0 (\phi) = \phi, \forall \phi \in \mathfrak C^{(n)} (I)\right )  \! și cu

 L (D) = \sum_{k=0}^n {a_k (x) D^k} = a_0(x) D^n + a_1(x) D^{n-1} + \cdots + a_{n-1}(x)D + a_n(x) D^0, \; x \in I,  \!

atunci ecuațiile (1) și (2) se scriu pe scurt astfel:

 L(D)(y) = f(x), \; x \in I,  \!   (1’)

respectiv

L (D)(y) = 0, \; x \in I.  \!   (2’)

Propoziția 1.3.1. Mulțimea S a soluțiilor ecuației omogene (2) este un subspațiu vectorial al spațiului de funcții  \mathcal F (I, \mathbb R). \!

Demonstrație.

Vom arăta că \forall y, z \in S  \! și  \forall \lambda, \mu 
\in \mathbb R,  \! rezultă că  \lambda y + \mu z \in S. \!

Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea: D(\lambda y + \mu z) = \lambda D(y) + \mu D (z), \; \forall y, z \in \mathfrak C^{(n)}(I), \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R.  \!

Într-adevăr,

D (\lambda y + \mu z) = \frac {d}{dx} (\lambda y + \mu z) = (\lambda y + \mu z)' = \lambda y' + \mu z' =   \!
= \lambda \frac {dy}{dx} + \mu \frac {dz}{dx} = \lambda D (y) +\mu D (z).  \!

Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr, de exemplu:

D^2 (\lambda x + \mu y) = (D \circ D) (\lambda x + \mu y) = D  [D (\lambda x + \mu y) ] = D [\lambda D(x) + \mu D (y)] =  \!
 = \lambda D [D(x)] + \mu D [D(y)] = \lambda D^2(x) + \mu D^2(y) \!

etc.

În sfârșit, observăm că operatorul L(D) este liniar,

 L (D)(\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k (\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x)  (\lambda D^k (y) + \mu D^k (z) ) = \!
 = \lambda \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(y)   + \mu \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z) \!

Dacă y,z \in S,  \! atunci   L (D)(y) = 0 \! și  L (D)(z) = 0. \!

În continuare, avem:

 L(D) (\lambda y +\mu z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z)=0, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R,  \!

deci  \lambda y + \mu z \in S.  \! QED.

În spații de funcții există un aparat specific pentru studiul liniar dependenței (independenței). Acest aparat se bazează pe noțiunea de wronskian.

Definiția 1.3.3. Fie f_1, f_2, \cdots , f_n : I \rightarrow \mathbb R,  \! n funcții de clasă  \mathfrak C^{(n-1)}  \! pe intervalul I. Se numește wronskian al acestor funcții, următoarea funcție:

 \mathcal W (x) = \mathcal W[f_1, f_2, \cdots , f_n] (x) = 
\begin{vmatrix}
f_1(x) & \cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
f_1^{(n)}(x) & \cdots & f^{(n-1)}_n (x)
\end{vmatrix}.


Propoziția 1.3.2. Fie  f_i \in \mathfrak C^{(n-1)} (I), \; i= \overline{1, n}.  \! Dacă  f_1, f_2, \cdots , f_n \! sunt liniar dependente pe I, atunci  \mathcal W [f_1, f_2, \cdots , f_n](x) = 0, \; \forall x \in I. \!

Demonstrație.

Prin ipoteză există n numere  \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n, \! nu toate nule, astfel încât

\lambda_1 f_1 (x) + \lambda_2 f_2 (x)+  \cdots + \lambda_n f_n (x) =0 , \; \forall x \in I.   \!   (3)

Derivând succesiv relația (3) de (n −1) ori obținem:


\begin{cases}
\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0 \\
\lambda_1 f'_1(x) + \lambda_2 f'_2(x) + \cdots + \lambda_n f'_n(x) = 0 \\
\cdots \; \; \cdots \cdots \cdots \; \;  \cdots \\
\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0
\end{cases}, \; \forall x \in I.
  (4)

Am obținut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar și omogen în necunoscutele \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n.  \! Deoarece sistemul admite soluție nebanală, rezultă că determinantul coeficienților este 0. Așadar avem:

 \mathcal W (x)=  
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \\
\end{vmatrix}
=0, \; \forall x \in I.
\!

QED.

Propoziția 1.3.3.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki