Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială liniară de ordinul n

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuație diferențială de forma:

a_0(x) y^{(n)} +a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots +a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x), \; x \in I,  \!   (1)

unde a_0, a_1, \cdots , a_n, \; \; f  \! sunt funcții continue pe intervalul  I \subset \mathbb R  \! și  a_0(x) \neq 0, \; \forall x \in I. \!   (2)

Definiția 1.3.1. Spunem că o funcție \phi : I \rightarrow \mathbb R  \! este de clasă \mathfrak C^{(p)}  \! pe intervalul I­ dacă \phi  \! admite derivate până la ordinul p inclusiv și acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notația \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! De exemplu, \phi \in \mathfrak C^{(0)} (I)  \! dacă \phi  \! este continuă pe I, \phi \in \mathfrak C^{(1)} (I)  \! dacă există  \phi' \! și este continuă pe I etc.

Este evident că \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! este un subspațiu vectorial al spațiului vectorial al funcțiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota \mathcal F (I, \mathbb R).  \!

Definiția 1.3.2. Se numește soluție a ecuației diferențiale (1) orice funcție \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! care verifică ecuația, adică:

a_0(x) \phi^{(n)} + a_1(x) \phi^{(n-1)} +  \cdots  + a_{n-1}(x) \phi' + a_n(x) \phi = f(x), \; x \in I .  \!

Dacă notăm cu D operatorul de derivare \left (  D = \frac {d}{dx} \right ),  \! cu D^p, \; p \in \mathbb N^*  \! operatorul de derivare de ordinul p, D^p = {\underbrace {D \circ D \circ \cdots \circ D}}_{de\; n \; ori}= \frac {d^p}{dx^p}, \!

cu D^0  \! operatorul identitate \left (  D^0 (\phi) = \phi, \forall \phi \in \mathfrak C^{(n)} (I)\right )  \! și cu

 L (D) = \sum_{k=0}^n {a_k (x) D^k} = a_0(x) D^n + a_1(x) D^{n-1} + \cdots + a_{n-1}(x)D + a_n(x) D^0, \; x \in I,  \!

atunci ecuațiile (1) și (2) se scriu pe scurt astfel:

 L(D)(y) = f(x), \; x \in I,  \!   (1’)

respectiv

L (D)(y) = 0, \; x \in I.  \!   (2’)

Propoziția 1.3.1. Mulțimea S a soluțiilor ecuației omogene (2) este un subspațiu vectorial al spațiului de funcții  \mathcal F (I, \mathbb R). \!

Demonstrație.

Vom arăta că \forall y, z \in S  \! și  \forall \lambda, \mu 
\in \mathbb R,  \! rezultă că  \lambda y + \mu z \in S. \!

Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea: D(\lambda y + \mu z) = \lambda D(y) + \mu D (z), \; \forall y, z \in \mathfrak C^{(n)}(I), \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R.  \!

Într-adevăr,

D (\lambda y + \mu z) = \frac {d}{dx} (\lambda y + \mu z) = (\lambda y + \mu z)' = \lambda y' + \mu z' =   \!
= \lambda \frac {dy}{dx} + \mu \frac {dz}{dx} = \lambda D (y) +\mu D (z).  \!

Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr, de exemplu:

D^2 (\lambda x + \mu y) = (D \circ D) (\lambda x + \mu y) = D  [D (\lambda x + \mu y) ] = D [\lambda D(x) + \mu D (y)] =  \!
 = \lambda D [D(x)] + \mu D [D(y)] = \lambda D^2(x) + \mu D^2(y) \!

etc.

În sfârșit, observăm că operatorul L(D) este liniar,

 L (D)(\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k (\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x)  (\lambda D^k (y) + \mu D^k (z) ) = \!
 = \lambda \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(y)   + \mu \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z) \!

Dacă y,z \in S,  \! atunci   L (D)(y) = 0 \! și  L (D)(z) = 0. \!

În continuare, avem:

 L(D) (\lambda y +\mu z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z)=0, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R,  \!

deci  \lambda y + \mu z \in S.  \! QED.

În spații de funcții există un aparat specific pentru studiul liniar dependenței (independenței). Acest aparat se bazează pe noțiunea de wronskian.

Definiția 1.3.3. Fie f_1, f_2, \cdots , f_n : I \rightarrow \mathbb R,  \! n funcții de clasă  \mathfrak C^{(n-1)}  \! pe intervalul I. Se numește wronskian al acestor funcții, următoarea funcție:

 \mathcal W (x) = \mathcal W[f_1, f_2, \cdots , f_n] (x) = 
\begin{vmatrix}
f_1(x) & \cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
f_1^{(n)}(x) & \cdots & f^{(n-1)}_n (x)
\end{vmatrix}.


Propoziția 1.3.2. Fie  f_i \in \mathfrak C^{(n-1)} (I), \; i= \overline{1, n}.  \! Dacă  f_1, f_2, \cdots , f_n \! sunt liniar dependente pe I, atunci  \mathcal W [f_1, f_2, \cdots , f_n](x) = 0, \; \forall x \in I. \!

Demonstrație.

Prin ipoteză există n numere  \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n, \! nu toate nule, astfel încât

\lambda_1 f_1 (x) + \lambda_2 f_2 (x)+  \cdots + \lambda_n f_n (x) =0 , \; \forall x \in I.   \!   (3)

Derivând succesiv relația (3) de (n −1) ori obținem:


\begin{cases}
\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0 \\
\lambda_1 f'_1(x) + \lambda_2 f'_2(x) + \cdots + \lambda_n f'_n(x) = 0 \\
\cdots \; \; \cdots \cdots \cdots \; \;  \cdots \\
\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0
\end{cases}, \; \forall x \in I.
  (4)

Am obținut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar și omogen în necunoscutele \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n.  \! Deoarece sistemul admite soluție nebanală, rezultă că determinantul coeficienților este 0. Așadar avem:

 \mathcal W (x)=  
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \\
\end{vmatrix}
=0, \; \forall x \in I.
\!

QED.

Propoziția 1.3.3.

Also on Fandom

Random Wiki