FANDOM


Ecuația diferențială liniare neomogenă, de ordinul întâi, este o ecuație diferențială de forma:

$ y' + P (x)y = Q (x), \! $   (1)

unde P și Q sunt funcții continue pe un interval I.

Ecuația liniară omogenă asociată este

$ y' + P(x)y = 0. \! $   (2)

Observăm că ecuația omogenă (5) este o ecuație cu variabile separabile. Separând variabilele și integrând, obținem:

$ \frac {dy}{y} = - P (x) dx, \; y \neq 0, \! $


$ \ln |y| = - \int P (x) dx + \ln |\mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^* \! $

și mai departe

$ |y| = | \mathcal C | e^{- \int P(x)dx}, \; \mathcal C \in \mathbb R^* \! $

care este echivalentă cu

$ y = \mathcal C e^{- \int P(x)dx}, \; \mathcal C \in \mathbb R^* \! $

Deși această soluție s-a obținut în ipoteza $ y \neq 0, \! $ care presupune $ \mathcal C \neq 0, \! $ observăm că ecuația (2) admite și soluția y = 0 care s-a pierdut la împărțirea cu y. Așadar:

$ y= \mathcal C e^{- \int P(x)dx}, \mathcal C \in \mathbb R, \! $   (3)

reprezintă soluția generală a ecuației omogene (2).

Pentru a obține soluția generală a ecuației neomogene (4) folosim metoda variației constantei a lui Lagrange și anume: căutăm soluția ecuației neomogene (1) de forma

$ y= \phi (x) e^{- \int P(x)dx} , \! $   (4)

unde $ \phi \! $ este o funcție de clasă $ \mathfrak C^{(1)} \! $ pe intervalul I. Pentru determinarea funcției $ \phi \! $ punem condiția ca (4) să fie soluție pentru ecuația (4) și obținem:

$ \phi' (x) e^{- \int P(x)dx} - \phi (x) P (x)e^{- \int P (x)dx} + P(x) \phi (x) e^{- \int P(x)dx} = Q (x). \! $

Efectuând calculele, rezultă:

$ \phi' (x) = Q(x) e^{\int P(x) dx} \! $

și mai departe

$ \phi(x) = \int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx + \mathcal C. \! $

Înlocuind în (4) obținem soluția generală a ecuației neomogene (1) și anume:

$ y = e^{- \int P(x)dx} \left ( \mathcal C + \int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx \right ). \! $   (5)

Exemplu. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale

$ y' + y \sin x = - \sin x \cos x. \! $

Folosim formula (5) cu $ P(x) = \sin x \! $ și $ Q(x) =- \sin x \cos x . \! $ Înlocuind în (5), obținem:

$ y= e^{\cos x} ( \mathcal C - \int \sin x \cos x e^{- \cos x} dx ) = e^{\cos x} (\mathcal C - e^{- \cos x} \cos x - e^{- \cos x}), \! $

deci $ y = \mathcal C e^{\cos x} - \cos x - 1. \! $

Resurse Edit