Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială liniară de ordinul întâi

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuația diferențială liniare neomogenă, de ordinul întâi, este o ecuație diferențială de forma:

y' + P (x)y = Q (x),  \!   (1)

unde P și Q sunt funcții continue pe un interval I.

Ecuația liniară omogenă asociată este

y' + P(x)y = 0.  \!   (2)

Observăm că ecuația omogenă (5) este o ecuație cu variabile separabile. Separând variabilele și integrând, obținem:

 \frac {dy}{y} = - P (x) dx, \; y \neq 0,  \!


 \ln |y| = - \int P (x) dx + \ln |\mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

și mai departe

|y| = | \mathcal C | e^{- \int P(x)dx}, \;  \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

care este echivalentă cu

y =  \mathcal C  e^{- \int P(x)dx}, \;  \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

Deși această soluție s-a obținut în ipoteza  y \neq 0, \! care presupune \mathcal C \neq 0,  \! observăm că ecuația (2) admite și soluția y = 0 care s-a pierdut la împărțirea cu y. Așadar:

y= \mathcal C e^{- \int P(x)dx}, \mathcal C \in \mathbb R,  \!   (3)

reprezintă soluția generală a ecuației omogene (2).

Pentru a obține soluția generală a ecuației neomogene (4) folosim metoda variației constantei a lui Lagrange și anume: căutăm soluția ecuației neomogene (1) de forma

y= \phi (x) e^{- \int P(x)dx} , \!   (4)

unde  \phi \! este o funcție de clasă  \mathfrak C^{(1)} \! pe intervalul I. Pentru determinarea funcției  \phi  \! punem condiția ca (4) să fie soluție pentru ecuația (4) și obținem:

\phi' (x) e^{- \int P(x)dx} - \phi (x) P (x)e^{- \int P (x)dx} + P(x) \phi (x) e^{- \int P(x)dx} = Q (x).  \!

Efectuând calculele, rezultă:

 \phi' (x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}  \!

și mai departe

\phi(x) = \int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx + \mathcal C.  \!

Înlocuind în (4) obținem soluția generală a ecuației neomogene (1) și anume:

y = e^{- \int P(x)dx} \left ( \mathcal C + \int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx  \right ).  \!   (5)

Exemplu. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale

y' + y \sin x = - \sin x \cos x.  \!

Folosim formula (5) cu P(x) = \sin x  \! și Q(x) =- \sin x \cos x . \! Înlocuind în (5), obținem:

y= e^{\cos x} ( \mathcal C - \int \sin x \cos x e^{- \cos x} dx ) = e^{\cos x} (\mathcal C - e^{- \cos x} \cos x - e^{- \cos x}),  \!

deci y = \mathcal C e^{\cos x} - \cos x - 1.  \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki