Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială exactă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuația diferențială exactă este o ecuație diferențială de forma:ma fut in ele

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0,  \!   (1)

unde P și Q sunt funcții de clasă \mathfrak C^{(1)}  \! pe dreptunghiul D = (a, b) \times (c, d), \; Q \neq 0  \! pe D și

\frac {\delta P}{\delta y} = \frac {\delta Q}{\delta x}  \!

pe D.

Fie (x_0, y_0) \in D  \! un punct oarecare fixat și fie  F: D \rightarrow \mathbb R,  \! definită astfel:

F(x, y)  = \int_{x_0}^x {P(t, y_0) dt} + \int_{y_0}^y {Q(x, t) dt}, \; (x, y) \in D. \!   (2)


Propoziția 1. În condițiile de mai sus, orice funcție implicită y= \phi (x),  \! definită de ecuația  F(x, y) = C ,\; C \in \mathbb R,  \! este soluție pentru ecuația diferențială (16) și orice soluție a ecuației (16) este de această formă.

Demonstrație.

Pentru început vom arăta că \frac {\delta F}{\delta x} = P  \! și  \frac {\delta F}{\delta y} = Q.  \! Într-adevăr, ținând seama de formula de derivare a integralei cu parametru și de ipoteza \frac {\delta P}{\delta x} = \frac {\delta Q}{\delta y},  \! rezultă

\frac {\delta F}{\delta x} = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\delta Q}{\delta x} (x, t) dt  = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\delta P}{\delta t} (x, t) dt = \!
= P(x, y_0) + P(x, y) - P(x, y_0) = P(x, y).  \!

De asemenea, avem \frac {\delta F}{\delta y} = Q(x, y).  \! Așadar, funcția F definită în (17) are proprietatea că \frac {\delta F}{\delta x} = P \! și \frac {\delta F}{\delta y} = Q. \! Cu alte cuvinte, forma diferențială  \omega = P(x, y)dx + Q(x, y)dy  \! este exactă.

Fie ecuația :

F(x,y) = C, \; (x, y) \in D.  \!   (3)

Deoarece  \frac {\delta F}{\delta y} = Q \neq 0  \! pe D, rezultă că în vecinătatea oricărui punct din D ecuația (3) definește o funcție implicită  y = \phi (x), \; x \in I. \! Deoarece  F [x, \phi (x)] = 0, \; \forall \; x \in I,  \! derivând obținem  \frac {\delta F}{\delta x} [ x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x) ] \cdot \phi' (x) = 0 , \; \forall \; x \in I. \!

ținând seama că \frac {\delta F}{\delta x} = P  \! și \frac {\delta F}{\delta y} = Q,  \! deducem că

P [x, \phi (x)] + Q [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I,  \!

deci y = \phi (x), \; x \in I  \! este soluție pentru ecuația (1).


Reciproc, fie y = \phi (x), x \in I,  \! o soluție a ecuației (1). Atunci, \forall \; x \in I,   \! avem

(x, \phi (x)) \in D și P [x, \phi (x)] + Q  [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0. \!

Deoarece \frac {\delta F}{\delta x} = P  \! și  \frac {\delta F}{\delta y} = Q,  \! rezultă

\frac {\delta F}{\delta x} [x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I,  \!

ceea ce este echivalent cu

 \frac {d}{dx} (F (x, \phi (x))) = 0, \; \forall \; x \in I. \!

Din ultima relație deducem că  F(x, \phi (x)) = C, \; \forall \; x \in I,  \! deci y= \phi (x), \; x \in I,  \! este o funcție implicită definită de ecuația (3). QED

Exemplul 1. Să se afle soluțiile ecuației diferențiale:

 (3 x^2 - y) + (3 y^2 - x) y' = 0, \; (x, y) \in \mathbb R^2 \setminus \{ (3 a^2, a); \; a \in \mathbb R \}.  \!

Avem P(x, y) = 3 x^2 - y, \; Q(x, y) = 3y^2 - x, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = \frac {\delta P}{\delta y}  = -1. \!


F(x, y) = \int_{x_0}^x (3t^2 - y_0) dt + \int_{y_0}^y (3 t^2 - x) dt = x^3 + y^3 - xy + x_0 y_0 - x_0^3 - y^3_0. \!

Așadar, orice soluție a ecuației date este de forma  y = \phi (x), \; x \in I,  \! unde  \phi  \! este o funcție implicită definită de ecuația   x^3 + y^3 - xy = K . \!

Observație. Dacă  \frac {\delta P}{ \delta y} \neq \frac {\delta Q}{\delta x},  \! atunci se caută un factor integrant. Prin factor integrant se înțelege o funcție \mu = \mu (x, y), \; \mu \in \mathfrak C ^{(1)}(D), \; \mu \neq 0  \! pe D cu proprietatea

\frac {\delta}{\delta x} [ \mu (x, y) Q(x, y) ] = \frac {\delta}{\delta y} [\mu (x,y) P(x, y)] , \; (x, y) \in D.  \!   (4)

Așadar, să considerăm ecuația diferențială

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0, \; Q \neq 0  \! pe D

și  \frac {\delta Q}{\delta x} \neq \frac {\delta P}{\delta y} . \!   (5)

Dacă reușim să găsim un factor \mu = \mu (x, y)  \! și înmulțim ecuația (5) cu acest factor integrant, obținem ecuația echivalentă \mu (x, y) P(x, y) + \mu (x, y) Q(x, y)y' =0,  \! care este de tipul (1) și a cărei soluție se află în conformitate cu Propoziția 1.2.7.

Determinarea factorului integrant se face prin încercări. Să căutăm pentru început un factor integrant de forma \mu = \mu (x)  \! (care depinde numai de x). Din (4) rezultă

\mu' (x) Q(x,y) + \mu (x) \frac {\delta Q}{\delta x} = \mu (x) \frac {\delta P}{\delta y}  \!

și mai departe

 \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}. \!

Pentru ca egalitatea (21) să fie posibilă trebuie ca expresia \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}  \! să depindă numai de x.

Așadar, ecuația (5) admite factor integrant \mu = \mu (x) , \! dacă  \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} \! depinde numai de x.

Să notăm cu    \phi (x) = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}.   \!

Atunci    \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \phi (x) \! și integrând obținem  \ln |\mu (x)| = \int \phi (x) dx + \mathcal C. \!

Putem alege factorul integrant \mu(x) = e^{\int \phi (x)dx}.  \!

Exemplul 2. Determinând un factor integrant, să se găsească soluția ecuației diferențiale

 (1- x^2 y) + x^2(y-x)y' = 0, \; x \neq 0, \; x \neq y. \!

Avem P = 1- x^2 y, \; Q = x^2 (y-x), \; \frac {\delta Q}{\delta x} = 2 xy - 3 x^2 \neq \frac {\delta P}{\delta y} \neq - x^2, \; \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} = - \frac 2 x.  \! Rezultă că \mu (x) = e^{- \int {\frac 2 x dx}} = \frac {1}{x^2}. \! Amplificând ecuația dată cu acest factor integrant, obținem

 (\frac {1}{x^2} - y) + (y-x) y' = 0.  \!

Fie  P_1 = \frac {1}{x^2 - y}  \! și  Q_1 = y-x. \! Observăm că \frac {\delta P_1}{\delta y} = \frac {\delta Q_1}{\delta x} = -1.  \! Atunci

F(x, y)  = \int_{x_0}^x \left ( \frac {1}{t^2} - y_0 \right ) dt + \int_{y_0}^y (t-x) dt = \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy + K. \!

Soluția ecuației va fi orice funcție implicită y= \phi (x) , \; x \in I, \! definită de ecuația

 \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy = C. \!

În mod analog, se arată că ecuația (5) cu P \neq 0  \! admite un factor integrant depinzând numai de y \; (y = \mu (y)),  \! dacă expresia  \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} \! depinde numai de y.

Exemplul 3. Determinând un factor integrant, să se găsească soluția ecuației diferențiale

y^2 (2x - 3y) + (7- 3xy^2) y' = 0, \; y \neq 0, \; 2x \neq 3y, \; 7 \neq 2xy^2.  \!

Avem succesiv

P = y^2 (2x - 3y), \; Q = 7 - 3xy^2, \; \frac {\delta P}{\delta y} = 4xy - 9y^2, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = - 3 y^2;  \!
 \frac {\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} = -\frac 2 y; \; \mu(y) = \frac {1}{y^2} \!

Înmulțind ecuația dată cu  \frac {1}{y^2}, \! obținem ecuația echivalentă 2x - 3y + (\frac {7}{y^2} -3x)y' = 0.  \!

Fie P_1(x, y) - 2x -3y, \; Q_1 (x, y) = \frac {7}{y^2}.  \! Evident \frac {\delta Q_1}{\delta x} = \frac {\delta P_1}{\delta y} = -3.  \! Atunci

F(x, y) = \int_{x_0}^x (2t - 3 y_0) dt + \int_{y_0}^y (\frac {7}{t^2} - 3x) dt = x^2 - 3xy - \frac 7 y + \mathcal C.  \!

Orice funcție implicită  y = \phi (x), \; x \in I, \! definită de ecuația x^2 - 3xy - \frac 7 y = K  \! este soluție pentru ecuația dată.

Dacă ecuația nu admite factori integranți de forma  \mu = \mu (x) \! sau  \mu = \mu (y) \! se caută factori integranți de forme mai complicate  \mu = \mu (xy), \;  \mu = \mu (ax+ by), \; \mu = \mu (\frac x y) \! etc.

Also on Fandom

Random Wiki