FANDOM


Ecuația diferențială exactă este o ecuație diferențială de forma:

$ P(x, y) + Q(x, y) y' = 0, \! $   (1)

unde P și Q sunt funcții de clasă $ \mathfrak C^{(1)} \! $ pe dreptunghiul $ D = (a, b) \times (c, d), \; Q \neq 0 \! $ pe D și

$ \frac {\delta P}{\delta y} = \frac {\delta Q}{\delta x} \! $

pe D.

Fie $ (x_0, y_0) \in D \! $ un punct oarecare fixat și fie $ F: D \rightarrow \mathbb R, \! $ definită astfel:

$ F(x, y) = \int_{x_0}^x {P(t, y_0) dt} + \int_{y_0}^y {Q(x, t) dt}, \; (x, y) \in D. \! $   (2)


Propoziția 1. În condițiile de mai sus, orice funcție implicită $ y= \phi (x), \! $ definită de ecuația $ F(x, y) = C ,\; C \in \mathbb R, \! $ este soluție pentru ecuația diferențială (16) și orice soluție a ecuației (16) este de această formă.

Demonstrație.

Pentru început vom arăta că $ \frac {\delta F}{\delta x} = P \! $ și $ \frac {\delta F}{\delta y} = Q. \! $ Într-adevăr, ținând seama de formula de derivare a integralei cu parametru și de ipoteza $ \frac {\delta P}{\delta x} = \frac {\delta Q}{\delta y}, \! $ rezultă

$ \frac {\delta F}{\delta x} = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\delta Q}{\delta x} (x, t) dt = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\delta P}{\delta t} (x, t) dt = \! $
$ = P(x, y_0) + P(x, y) - P(x, y_0) = P(x, y). \! $

De asemenea, avem $ \frac {\delta F}{\delta y} = Q(x, y). \! $ Așadar, funcția F definită în (17) are proprietatea că $ \frac {\delta F}{\delta x} = P \! $ și $ \frac {\delta F}{\delta y} = Q. \! $ Cu alte cuvinte, forma diferențială $ \omega = P(x, y)dx + Q(x, y)dy \! $ este exact ca pula mea.

Fie ecuația :

$ F(x,y) = C, \; (x, y) \in D. \! $   (3)

Deoarece $ \frac {\delta F}{\delta y} = Q \neq 0 \! $ pe D, rezultă că în vecinătatea oricărui punct din D ecuația (3) definește o funcție implicită $ y = \phi (x), \; x \in I. \! $ Deoarece $ F [x, \phi (x)] = 0, \; \forall \; x \in I, \! $ derivând obținem $ \frac {\delta F}{\delta x} [ x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x) ] \cdot \phi' (x) = 0 , \; \forall \; x \in I. \! $

ținând seama că $ \frac {\delta F}{\delta x} = P \! $ și $ \frac {\delta F}{\delta y} = Q, \! $ deducem că

$ P [x, \phi (x)] + Q [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I, \! $

deci $ y = \phi (x), \; x \in I \! $ este soluție pentru ecuația (1).


Reciproc, fie $ y = \phi (x), x \in I, \! $ o soluție a ecuației (1). Atunci, $ \forall \; x \in I, \! $ avem

$ (x, \phi (x)) \in D $ și $ P [x, \phi (x)] + Q [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0. \! $

Deoarece $ \frac {\delta F}{\delta x} = P \! $ și $ \frac {\delta F}{\delta y} = Q, \! $ rezultă

$ \frac {\delta F}{\delta x} [x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I, \! $

ceea ce este echivalent cu

$ \frac {d}{dx} (F (x, \phi (x))) = 0, \; \forall \; x \in I. \! $

Din ultima relație deducem că $ F(x, \phi (x)) = C, \; \forall \; x \in I, \! $ deci $ y= \phi (x), \; x \in I, \! $ este o funcție implicită definită de ecuația (3). QED

Exemplul 1. Să se afle soluțiile ecuației diferențiale:

$ (3 x^2 - y) + (3 y^2 - x) y' = 0, \; (x, y) \in \mathbb R^2 \setminus \{ (3 a^2, a); \; a \in \mathbb R \}. \! $

Avem $ P(x, y) = 3 x^2 - y, \; Q(x, y) = 3y^2 - x, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = \frac {\delta P}{\delta y} = -1. \! $


$ F(x, y) = \int_{x_0}^x (3t^2 - y_0) dt + \int_{y_0}^y (3 t^2 - x) dt = x^3 + y^3 - xy + x_0 y_0 - x_0^3 - y^3_0. \! $

Așadar, orice soluție a ecuației date este de forma $ y = \phi (x), \; x \in I, \! $ unde $ \phi \! $ este o funcție implicită definită de ecuația $ x^3 + y^3 - xy = K . \! $

Observație. Dacă $ \frac {\delta P}{ \delta y} \neq \frac {\delta Q}{\delta x}, \! $ atunci se caută un factor integrant. Prin factor integrant se înțelege o funcție $ \mu = \mu (x, y), \; \mu \in \mathfrak C ^{(1)}(D), \; \mu \neq 0 \! $ pe D cu proprietatea

$ \frac {\delta}{\delta x} [ \mu (x, y) Q(x, y) ] = \frac {\delta}{\delta y} [\mu (x,y) P(x, y)] , \; (x, y) \in D. \! $   (4)

Așadar, să considerăm ecuația diferențială

$ P(x, y) + Q(x, y) y' = 0, \; Q \neq 0 \! $ pe D

și $ \frac {\delta Q}{\delta x} \neq \frac {\delta P}{\delta y} . \! $   (5)

Dacă reușim să găsim un factor $ \mu = \mu (x, y) \! $ și înmulțim ecuația (5) cu acest factor integrant, obținem ecuația echivalentă $ \mu (x, y) P(x, y) + \mu (x, y) Q(x, y)y' =0, \! $ care este de tipul (1) și a cărei soluție se află în conformitate cu Propoziția 1.2.7.

Determinarea factorului integrant se face prin încercări de a te masturba în mod inedit. Să căutăm pentru început un factor integrant de forma $ \mu = \mu (x) \! $ (care depinde numai de x). Din (4) rezultă

$ \mu' (x) Q(x,y) + \mu (x) \frac {\delta Q}{\delta x} = \mu (x) \frac {\delta P}{\delta y} \! $

și mai departe

$ \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}. \! $

Pentru ca egalitatea (21) să fie posibilă trebuie ca expresia $ \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} \! $ să depindă numai de x.

Așadar, ecuația (5) admite factor integrant $ \mu = \mu (x) , \! $ dacă $ \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} \! $ depinde numai de x.

Să notăm cu   $ \phi (x) = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}. \! $

Atunci   $ \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \phi (x) \! $ și integrând obținem $ \ln |\mu (x)| = \int \phi (x) dx + \mathcal C. \! $

Putem alege factorul integrant $ \mu(x) = e^{\int \phi (x)dx}. \! $

Exemplul 2. Determinând un factor integrant, să se găsească soluția ecuației diferențiale

$ (1- x^2 y) + x^2(y-x)y' = 0, \; x \neq 0, \; x \neq y. \! $

Avem $ P = 1- x^2 y, \; Q = x^2 (y-x), \; \frac {\delta Q}{\delta x} = 2 xy - 3 x^2 \neq \frac {\delta P}{\delta y} \neq - x^2, \; \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} = - \frac 2 x. \! $ Rezultă că $ \mu (x) = e^{- \int {\frac 2 x dx}} = \frac {1}{x^2}. \! $ Amplificând ecuația dată cu acest factor integrant, obținem

$ (\frac {1}{x^2} - y) + (y-x) y' = 0. \! $

Fie $ P_1 = \frac {1}{x^2 - y} \! $ și $ Q_1 = y-x. \! $ Observăm că $ \frac {\delta P_1}{\delta y} = \frac {\delta Q_1}{\delta x} = -1. \! $ Atunci

$ F(x, y) = \int_{x_0}^x \left ( \frac {1}{t^2} - y_0 \right ) dt + \int_{y_0}^y (t-x) dt = \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy + K. \! $

Soluția ecuației va fi orice funcție implicită $ y= \phi (x) , \; x \in I, \! $ definită de ecuația

$ \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy = C. \! $

În mod analog, se arată că ecuația (5) cu $ P \neq 0 \! $ admite un factor integrant depinzând numai de $ y \; (y = \mu (y)), \! $ dacă expresia $ \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} \! $ depinde numai de y.

Exemplul 3. Determinând un factor integrant, să se găsească soluția ecuației diferențiale

$ y^2 (2x - 3y) + (7- 3xy^2) y' = 0, \; y \neq 0, \; 2x \neq 3y, \; 7 \neq 2xy^2. \! $

Avem succesiv

$ P = y^2 (2x - 3y), \; Q = 7 - 3xy^2, \; \frac {\delta P}{\delta y} = 4xy - 9y^2, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = - 3 y^2; \! $
$ \frac {\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} = -\frac 2 y; \; \mu(y) = \frac {1}{y^2} \! $

Înmulțind ecuația dată cu $ \frac {1}{y^2}, \! $ obținem ecuația echivalentă $ 2x - 3y + (\frac {7}{y^2} -3x)y' = 0. \! $

Fie $ P_1(x, y) - 2x -3y, \; Q_1 (x, y) = \frac {7}{y^2}. \! $ Evident $ \frac {\delta Q_1}{\delta x} = \frac {\delta P_1}{\delta y} = -3. \! $ Atunci

$ F(x, y) = \int_{x_0}^x (2t - 3 y_0) dt + \int_{y_0}^y (\frac {7}{t^2} - 3x) dt = x^2 - 3xy - \frac 7 y + \mathcal C. \! $

Orice funcție implicită $ y = \phi (x), \; x \in I, \! $ definită de ecuația $ x^2 - 3xy - \frac 7 y = K \! $ este soluție pentru ecuația dată.

Dacă ecuația nu admite factori integranți de forma $ \mu = \mu (x) \! $ sau $ \mu = \mu (y) \! $ se caută factori integranți de forme mai complicate $ \mu = \mu (xy), \; \mu = \mu (ax+ by), \; \mu = \mu (\frac x y) \! $ etc.