Ecuație diferențială de tip Riccati

Ecuația diferențială de tip Riccati este o ecuație diferențială de forma

$y' = P(x) y^2 + Q(x) y + R(x) \!$   (1)

unde P, Q și R sunt funcții continue pe un interval I.

În general, o ecuație de acest tip nu se poate integra prin cuadraturi. Astfel, încă din 1841, J. Liouville a demonstrat că există ecuații diferențiale de tip Riccati care nu sunt „integrabile prin cuadraturi”, adică soluțiile lor nu pot fi exprimate ca primitive ale unor funcții continue. De exemplu, ecuația Riccati foarte simplă:

$y' = x^2 + y^2, \!$

nu este integrabilă prin cuadraturi.

Cel mai simplu și mai cunoscut caz de integrabilitate a ecuației Riccati este acela când se cunoaște o soluție particulară a acestei ecuații. Dacă se cunoaște o soluție particulară a ecuației diferențiale (1), anume $y_p: J \subset I \rightarrow \mathbb R, \!$ atunci efectuând schimbarea de funcție $y= y_p + \frac 1 z, \!$ ecuația diferențială se reduce la o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi.

Într-adevăr, derivând și înlocuind în ecuația (1) obținem:

$y'_p - \frac {z'}{z^2} = P(x) \left ( y_p^2 + 2 \frac {y_p}{z} + \frac {1}{z^2} \right ) + Q(x) \left ( y_p + \frac 1 z \right ) + R(x). \!$

ținând seama că $y_p \!$ verifică ecuația (11), deci că

$y'_p = P(x) \cdot y^2_p + Q(x) \cdot y_p + R(x), \!$

rezultă

$z' + [2 y_p P(x) +Q(x) ]z = - P(x). \!$   (2)

Se observă că ecuația diferențială (2) este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi.

Observație. Se poate arăta că, orice ecuație diferențială de tip Riccati de forma

$y' = A y^2 + \frac B x y + \frac {C}{x^2}, \!$

unde $A, B, C \in \mathbb R \!$ satisfac condiția $(B+1)^2 - 4 AC \ge 0, \!$ admite o soluție particulară de forma

$y_p(x) = \frac c x, \; c \in \mathbb R. \!$

Exemplu. Să se integreze următoarea ecuație diferențială de tip Riccati: $y' = - \frac 1 3 y^2 - \frac {2}{3 x^2}, \; x \in (0, \infty). \!$

ținând seama de observația de mai sus, se constată că $y = \frac 1 x \!$ este o relație particulară a ecuației date. Facem schimbarea de funcție $y= \frac 1 x + \frac 1 z \!$ și obținem:

☑ -1/x^2 - z'/z^2 = -1/3(1/x^2 + 2/xz + 1/z^2) - 2/3x^2

☒ $- \frac {1}{x^2} - \frac {z'}{z^2} = - \left ( \frac {1}{x^2} + \frac {2}{xz} + \frac {1}{z^2} \right ) - \frac {2}{3x^2}. \!$

Rezultă următoarea ecuație diferențială liniară de ordinul întâi:

$z' - \frac {2}{3x}z = \frac 1 3, \!$

a cărei soluție generală este $z = Cx^{\frac 2 3} + x. \!$

Soluția generală a ecuației Riccati este:

$y = \frac 1 x + \frac {1}{Cx^{\frac 2 3} + x}, \; x \in (0, \infty). \!$

Resurse

• SOSMath.com