FANDOM


Ecuația diferențială de tip Bernoulli este o ecuație diferențială de forma:

$ y' + P(x) y = Q(x)y^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb R \setminus \{ 0, 1 \}. \! $   (1)

Presupunem că P și Q sunt funcții continue pe un interval I. Împărțind cu $ y^{\alpha}, \! $ pentru $ y \neq 0 ,\! $ obținem:

$ y^{- \alpha} y' + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x). \! $

Dacă facem schimbarea de funcție $ y^{1 - \alpha} = z, \! $ unde z = z(x) este noua funcție necunoscută, rezultă $ (1 - \alpha) y ^{- \alpha} \cdot y' = z' \! $ și mai departe

$ \frac {z'}{1- \alpha} + P(x)z = Q(x). \! $   (2)

Ecuația diferențială (2) este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi și se rezolvă în acest mod.

Exemplu. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale :

$ y' - \frac {y}{3x} = \frac 1 3 y^4 \ln x, \; x \in (0, \infty). \! $

Împărțind cu $ y^4 , \! $ pentru $ y \neq 0, \! $ rezultă $ y^{-4} \cdot y' - \frac {1}{3x} y^{-3} =\frac 1 3 \ln x. \! $

Dacă notăm cu $ z= y ^{-3}, \! $ atunci $ z' = - 3 y^{-4} y' \! $ și ecuația devine:

$ z' + \frac 1 x z = - \ln x. \! $

Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi, cu $ P(x) = \frac 1 x \! $ și $ Q(x) = - \ln x. \! $

Folosind formula $ y= e^{- \int P(x)dx} \left ( C + \int Q(x) \cdot e^{\int P(x)}dx \right ) $ (vezi ecuație diferențială liniară de ordinul întâi) obținem:

$ z =e^{- \ln x} ( \mathcal C - \int \ln x e^{\ln x} dx) = \frac 1 x (\mathcal C - \int x \ln x dx) \! $

și mai departe $ z = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x. \! $

Așadar avem: $ y^{-3} = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x, \; x>0, \; y \neq 0. \! $

Diferite soluții particulare se obțin precizând condițiile inițiale.

Familia Bernoulli
Jacob Bernoulli
Jacques Bernoulli
(Jakob Bernoulli)
(1654 - 1705)
Ecuația diferențială de tip Bernoulli
Numerele lui Bernoulli
Lemniscata lui Bernoulli
Operatorul Bernoulli
Inegalitatea lui Bernoulli
-frate- Johann Bernoulli
Jean Bernoulli
(Johann Bernoulli)
(1667 – 1748)
Identitatea lui Bernoulli
Regula lui Bernoulli
|
fiu
|
Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli
(1700–1782)
Legea lui Bernoulli
Teoria cinetică a gazelor
Teoria probabilităților