Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială de tip Bernoulli

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuația diferențială de tip Bernoulli este o ecuație diferențială de forma:

y' + P(x) y = Q(x)y^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb R \setminus \{ 0, 1 \}.  \!   (1)

Presupunem că P și Q sunt funcții continue pe un interval I. Împărțind cu y^{\alpha},  \! pentru  y \neq 0 ,\! obținem:

y^{- \alpha} y' + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x).  \!

Dacă facem schimbarea de funcție y^{1 - \alpha} = z,  \! unde z = z(x) este noua funcție necunoscută, rezultă (1 - \alpha) y ^{- \alpha} \cdot y' = z'  \! și mai departe

\frac {z'}{1- \alpha} + P(x)z = Q(x).  \!   (2)

Ecuația diferențială (2) este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi și se rezolvă în acest mod.

Exemplu. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale :

y'  - \frac {y}{3x} = \frac 1 3 y^4 \ln x, \; x \in (0, \infty).  \!

Împărțind cu y^4 , \! pentru y \neq 0,  \! rezultă y^{-4} \cdot y' - \frac {1}{3x} y^{-3} =\frac 1 3 \ln x.  \!

Dacă notăm cu z= y ^{-3},  \! atunci z' = - 3 y^{-4} y'  \! și ecuația devine:

 z' + \frac 1 x z = - \ln x.  \!

Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi, cu  P(x) = \frac 1 x   \! și Q(x) = - \ln x.  \!

Folosind formula y= e^{- \int P(x)dx} \left ( C + \int Q(x)dx \cdot e^{\int P(x)dx} \right ) (vezi ecuație diferențială liniară de ordinul întâi) obținem:

 z =e^{- \ln x} ( \mathcal C - \int \ln x e^{\ln x} dx) = \frac 1 x (\mathcal C - \int x \ln x dx) \!

și mai departe z = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x.  \!

Așadar avem:  y^{-3} = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x, \; x>0, \; y \neq 0.  \!

Diferite soluții particulare se obțin precizând condițiile inițiale.

Familia Bernoulli
Jacob Bernoulli.jpg
Jacques Bernoulli
(Jakob Bernoulli)
(1654 - 1705)
Ecuația diferențială de tip Bernoulli
Numerele lui Bernoulli
Lemniscata lui Bernoulli
Operatorul Bernoulli
Inegalitatea lui Bernoulli
-frate- Johann Bernoulli.jpg
Jean Bernoulli
(Johann Bernoulli)
(1667 – 1748)
Identitatea lui Bernoulli
Regula lui Bernoulli
|
fiu
|
Daniel Bernoulli.jpg
Daniel Bernoulli
(1700–1782)
Legea lui Bernoulli
Teoria cinetică a gazelor
Teoria probabilităților

Also on Fandom

Random Wiki