FANDOM


Ecuația diferențială de ordinul al doilea este o ecuație diferențială de forma:

$ \frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y, y'). \! $

Cazul liniar Edit

Pentru ecuaţia diferenţială de ordinul al doilea:

$ y'' = f(x, y ,y') \! $

vom studia două cazuri particulare:


1) Termenul în y lipseşte: Ecuaţia e de forma:

$ y''=f(x, y'). \! $

Notăm $ v= y'. \! $ Ecuaţia devine:

$ v'= f(x,v) \! $

care este o ecuație diferențială de ordinul întâi, unde prin integrarea lui v se obţine y.


2) Termenul în x lipseşte: Ecuaţia e de forma:

$ y'' = f(x,y'). \! $

Dacă $ v=y' \! $ atunci:

$ y''= \frac{dv}{dx}= \frac {dv}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = v \frac{dv}{dy} \! $

şi obţinem:

$ v \frac{dv}{dy} = f(y, v). \! $

Din nou am obţinut o ecuație diferențială de ordinul întâi. Dacă determinăm v, putem obţine y din:

$ y' = v(y), \! $

care este o ecuație diferențială cu variabile separabile.

Aplicaţii Edit

1) Să determinăm soluţiile ecuaţiei:

$ xy'' + 2y' + x =1 \! $ cu $ y(1) = 2, \; y'(1)=1. \! $

Soluţie. Deoarece y lipseşte, punem $ v=y'. \! $ Avem:

$ xv' + 2v +x=1. \! $

Aceasta este o ecuație diferențială de ordinul întâi liniară. Prin rezolvare, obţinem:

$ v= \frac {c}{x^2} + \frac 1 2 - \frac x 3. \! $

Deoarece $ v(1) = 1, \! $ rezultă $ c= \frac 5 6. \! $ În consecinţă, avem:

$ v= \frac{5}{6x^2} + \frac 1 2 - \frac x 3. \! $

Deoarece $ y' =v, \! $ obţinem, după ntegrare, următoarea ecuaţie:

$ y= \mathcal C - \frac {5}{6x} + \frac x 2 - \frac {x^2}{6}. \! $

Condiţia $ y(1) =2 \! $ ne dă $ \mathcal C = \frac 5 2. \! $ Aşadar, avem:

$ y= \frac 5 2 - \frac {5}{6x} + \frac {x}{2} - \frac{x^2}{6}. \! $

De remarcat că soluţia este definită pentru $ x>0. \! $


2) Să determinăm soluţiile ecuaţiei:

$ y''+ (y')^2 y=0. \! $

Soluţie. Deoarece variabila x lipseşte, luăm $ v=y'. \! $

Avem deci:

$ v \frac{dv}{dy} + v^2 y = 0, \! $

care este o ecuaţie cu variabile separabile. Rezolvarea acesteia dă:

$ \begin{cases} v=0 \\ v= \frac{2}{y^2 - 2 \mathcal C}. \end{cases} \! $

Deoarece $ y'= \frac{dy}{dx}=v, \! $ obţinem $ y'=0 \! $ sau:

$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y^2- 2 \mathcal C}, \! $

de unde, prin rezolvare, obţinem:

$ \frac{y^3}{3} - 2 \mathcal C y = 2x + \mathcal C^*, \! $

unde $ \mathcal C \! $ şi $ \mathcal C^* \! $ sunt două constante.

Soluţiile ecuaţiei iniţiale sunt:

$ \begin{cases} y= \mathcal C \\ \frac{y^3}{3} - 2 \mathcal Cy = 2x ++ \mathcal C^*. \end{cases} \! $

De remarcat faptul că trebuie să fim atenţi la condiţiile-limită puse soluţiilor în cazul ecuaţiilor cu variabile separabile. Neglijarea acestora constituie o sursă frecventă de erori.

Resurse Edit