Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială de ordinul al doilea

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuația diferențială de ordinul al doilea este o ecuație diferențială de forma:

\frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y, y'). \!

Cazul liniar Edit

Pentru ecuaţia diferenţială de ordinul al doilea:

y'' = f(x, y ,y') \!

vom studia două cazuri particulare:


1) Termenul în y lipseşte: Ecuaţia e de forma:

y''=f(x, y'). \!

Notăm v= y'. \! Ecuaţia devine:

v'= f(x,v) \!

care este o ecuație diferențială de ordinul întâi, unde prin integrarea lui v se obţine y.


2) Termenul în x lipseşte: Ecuaţia e de forma:

y'' = f(x,y'). \!

Dacă v=y' \! atunci:

y''= \frac{dv}{dx}= \frac {dv}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = v \frac{dv}{dy} \!

şi obţinem:

v \frac{dv}{dy} = f(y, v). \!

Din nou am obţinut o ecuație diferențială de ordinul întâi. Dacă determinăm v, putem obţine y din:

y' = v(y), \!

care este o ecuație diferențială cu variabile separabile.

Aplicaţii Edit

1) Să determinăm soluţiile ecuaţiei:

xy'' + 2y' + x =1 \! cu y(1) = 2, \; y'(1)=1. \!

Soluţie. Deoarece y lipseşte, punem v=y'. \! Avem:

xv' + 2v +x=1. \!

Aceasta este o ecuație diferențială de ordinul întâi liniară. Prin rezolvare, obţinem:

v= \frac {c}{x^2} + \frac 1 2 - \frac x 3. \!

Deoarece v(1) = 1, \! rezultă c= \frac 5 6. \! În consecinţă, avem:

v= \frac{5}{6x^2} + \frac 1 2 - \frac x 3. \!

Deoarece y' =v, \! obţinem, după ntegrare, următoarea ecuaţie:

y= \mathcal C - \frac {5}{6x} + \frac x 2 - \frac {x^2}{6}. \!

Condiţia y(1) =2 \! ne dă \mathcal C = \frac 5 2. \! Aşadar, avem:

y= \frac  5 2 - \frac {5}{6x} + \frac {x}{2} - \frac{x^2}{6}. \!

De remarcat că soluţia este definită pentru x>0. \!


2) Să determinăm soluţiile ecuaţiei:

y''+ (y')^2 y=0. \!

Soluţie. Deoarece variabila x lipseşte, luăm v=y'. \!

Avem deci:

v \frac{dv}{dy} + v^2 y = 0, \!

care este o ecuaţie cu variabile separabile. Rezolvarea acesteia dă:

\begin{cases} v=0 \\ v= \frac{2}{y^2 - 2 \mathcal C}. \end{cases} \!

Deoarece y'= \frac{dy}{dx}=v, \! obţinem y'=0 \! sau:

\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y^2- 2 \mathcal C}, \!

de unde, prin rezolvare, obţinem:

\frac{y^3}{3} - 2 \mathcal C y = 2x + \mathcal C^*, \!

unde \mathcal C \! şi \mathcal C^* \! sunt două constante.

Soluţiile ecuaţiei iniţiale sunt:

\begin{cases} y= \mathcal C \\ \frac{y^3}{3} - 2 \mathcal Cy = 2x ++ \mathcal C^*. \end{cases} \!

De remarcat faptul că trebuie să fim atenţi la condiţiile-limită puse soluţiilor în cazul ecuaţiilor cu variabile separabile. Neglijarea acestora constituie o sursă frecventă de erori.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki