FANDOM


Ec dif de ord 1

Fig. 1

Definiţie. O ecuație diferențială de ordinul I este de forma:

$ y(x) = f(x, y(x)), \! $   (1)

unde $ y: I \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcție derivabilă pe I, I $ \subset \mathbb R \! $ cu derivata $ y': I \rightarrow \mathbb R, \! $ iar f este o funcţie definită pe o mulțime de forma $ J \times K, \! $ unde J şi K sunt intervale de numere reale.

Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale o funcţie derivabilă $ y: I \rightarrow \mathbb R, \; I \subset J \! $ astfel încât pentru orice $ x \in I \! $ să avem $ y(x) \in K \! $ şi $ y(x) = f(x, y(x)). \! $

Dacă se cere găsirea unei soluţiiy care într-un punct $ x_0 \in I \! $ ia o valoare dată $ y_0, \! $ se spune că soluţia y satisface condiţia iniţială $ y(x_0) = y_0. \! $ (Problema lui Cauchy).


Interpretare geometrică

Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale (1) revine la găsirea curbelor de ecuaţie $ y=y(x) \! $ pentru care panta tangentei în punctul $ M(x, y(x) ) \! $ este $ \tan \alpha = f(x, y(x)), \! $ $ \alpha \! $ fiind unghiul tangentei cu axa Ox (fig. 1).

Curbele $ y = y(x) \! $ se numesc curbe integrale.


Ec dife 1 Ec dife 2 Ec dife 3 Ec dife 4 Ec dife 5 Ec dife 6 Ec dife 7 Ec dife 8

Vezi şi Edit