Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială cu variabile separabile

1.030pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație diferențială de forma:

f_1 (x) \cdot g_1 (y) \cdot y' + f_2 (x) \cdot g_2 (y) = 0.

unde f_1, f_2: I \subset \mathbb R \longrightarrow \mathbb R sunt funcții continue, f_1 \neq 0 \! pe I, iar g_1, g_2 : J \subset \mathbb R \longrightarrow \! sunt funcții continue, g_2 \neq 0 \! pe J, I și J fiind intervale. Împărțind cu f_1 (x) \cdot g_2 (y), se separă variabilele și ecuația devine:

\frac {g_1(y)}{g_2(y)} dy = - \frac {f_2 (x)}{f_1 (x)} dx   (2)

Integrând în ambii membri, obținem:

\int \frac {g_1(y)}{g_2(y)}dy = - \int \frac {f_2(x)}{f_1(x)} dx + \mathcal C, \; \mathcal C \in \mathbb R.

Se obține astfel soluția generală sub formă implicită a ecuației diferențiale. Explicitând în raport cu y (dacă este posibil), se obține o expresie de forma y=h(x, \mathcal C), \mathcal C \in \mathbb R, \! care este soluția generală sub formă explicită a ecuației diferențiale (1).

Exemplul 1. Să se găsească soluția ecuației diferențiale

(1+x^2) yy' + x(1+y^2) = 0 \!

care îndeplinește condiția inițială y(1) = 2

Ecuația se pune sub forma echivalentă \frac {y}{1+y^2}dy = - \frac {x}{1+x^2} dx. Integrând, obținem:

\int \frac {y}{1+y^2}= - \int \frac {x}{1+x^2}

deci

\frac 1 2 \ln (1+y^2) = - \frac 1 2 \ln (1+x^2) + \frac 12 \ln \mathcal C, \; \mathcal C >0.

Din condiția inițială y(1)= 2, obținem C = 10 și mai departe y=\pm \sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}. Evident, soluția căutată este:

y=\sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}, \; x \in (-3, 3).

Exemplul 2. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale xy' = y, \; x>0, y>0. \!

Se observă că ecuația diferențială dată se poate scrie sub forma echivalentă:

\frac {dy}{y} = \frac {dx}{x}.

Integrând în ambii membri, se obține:

\ln y = \ln x + \ln {\mathcal C}, \; \mathcal C \in \mathbb R_+^*

sau y= \mathcal C x,\mathcal C \in \mathbb R_+^*.

Observăm că, deși calculele sunt făcute în domeniul D=(0, \infty) \times (0, \infty), \! funcția y= \mathcal C x, \; \mathcal C \in \mathbb R, verifică ecuația diferențială pe \mathbb R^2 \!

Așadar, soluția generală a ecuației diferențiale date, este y= \mathcal C x, \;  \mathcal C \in \mathbb R.  \!

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki