FANDOM


O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație diferențială de forma:

$ f_1 (x) \cdot g_1 (y) \cdot y' + f_2 (x) \cdot g_2 (y) = 0. $

unde $ f_1, f_2: I \subset \mathbb R \longrightarrow \mathbb R $ sunt funcții continue, $ f_1 \neq 0 \! $ pe I, iar $ g_1, g_2 : J \subset \mathbb R \longrightarrow \! $ sunt funcții continue, $ g_2 \neq 0 \! $ pe J, I și J fiind intervale. Împărțind cu $ f_1 (x) \cdot g_2 (y), $ se separă variabilele și ecuația devine:

$ \frac {g_1(y)}{g_2(y)} dy = - \frac {f_2 (x)}{f_1 (x)} dx $   (2)

Integrând în ambii membri, obținem:

$ \int \frac {g_1(y)}{g_2(y)}dy = - \int \frac {f_2(x)}{f_1(x)} dx + \mathcal C, \; \mathcal C \in \mathbb R. $

Se obține astfel soluția generală sub formă implicită a ecuației diferențiale. Explicitând în raport cu y (dacă este posibil), se obține o expresie de forma $ y=h(x, \mathcal C), \mathcal C \in \mathbb R, \! $ care este soluția generală sub formă explicită a ecuației diferențiale (1).

Exemplul 1. Să se găsească soluția ecuației diferențiale

$ (1+x^2) yy' + x(1+y^2) = 0 \! $

care îndeplinește condiția inițială y(1) = 2

Ecuația se pune sub forma echivalentă $ \frac {y}{1+y^2}dy = - \frac {x}{1+x^2} dx. $ Integrând, obținem:

$ \int \frac {y}{1+y^2}= - \int \frac {x}{1+x^2} $

deci

$ \frac 1 2 \ln (1+y^2) = - \frac 1 2 \ln (1+x^2) + \frac 12 \ln \mathcal C, \; \mathcal C >0. $

Din condiția inițială y(1)= 2, obținem C = 10 și mai departe $ y=\pm \sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}. $ Evident, soluția căutată este:

$ y=\sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}, \; x \in (-3, 3). $

Exemplul 2. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale $ xy' = y, \; x>0, y>0. \! $

Se observă că ecuația diferențială dată se poate scrie sub forma echivalentă:

$ \frac {dy}{y} = \frac {dx}{x}. $

Integrând în ambii membri, se obține:

$ \ln y = \ln x + \ln {\mathcal C}, \; \mathcal C \in \mathbb R_+^* $

sau $ y= \mathcal C x,\mathcal C \in \mathbb R_+^*. $

Observăm că, deși calculele sunt făcute în domeniul $ D=(0, \infty) \times (0, \infty), \! $ funcția $ y= \mathcal C x, \; \mathcal C \in \mathbb R, $ verifică ecuația diferențială pe $ \mathbb R^2 \! $

Așadar, soluția generală a ecuației diferențiale date, este $ y= \mathcal C x, \; \mathcal C \in \mathbb R. \! $

Resurse Edit