Fandom

Math Wiki

Ecuație diferențială

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

În alte limbi
* English

GAVRIIL PĂLTINEANU

PAVEL MATEI

ECUAȚII DIFERENȚIALE șI ECUAȚII CU DERIVATE PARȚIALE CU APLICAȚII

București

2007

Referent științific:

prof. univ. dr. ILEANA TOMA

Universitatea Tehnică de Construcții

București




PREFAȚĂ

Teoria ecuațiilor diferențiale și a ecuațiilor cu derivate parțiale reprezintă un domeniu fundamental al matematicii cu numeroase aplicații în diferite domenii ale științei și tehnicii, precum:mecanică, astronomie, termodinamică, optică, elasticitate, chimie, biologie etc.

Necesitatea creării acestei teorii a început odată cu apariția calculului diferențial și integral și provine din faptul că numeroase fenomene și procese din natură se modeleazămatematic prin ecuații diferențiale sau prin ecuații cu derivate parțiale.

Iată câteva dintre aceste procese: mișcarea unui punct material într-un câmp conservativ, vibrațiile unui sistem oscilant, căderea liberă a corpurilor, deplasarea unei membrane elastice sub acțiunea unei încărcări continue, propagarea căldurii într-o bară, dezintegrarea radioactivă, creșterea populației, diverse reacții chimice etc.

Primele contribuții notabile în teoria ecuațiilor diferențiale aparțin creatorilor analizei matematice Isaac Newton (1642-1727) și G. M. Leibniz (1646-1716).

Pornind de la studiul problemelor de dinamică a punctului material, Newton a descoperit legea a doua a mecanicii:

 \vec F = m \cdot \vec a = m \cdot \frac {d \vec v}{dt}

, relație care reprezintă o ecuație diferențială. Combinând această lege cu legea gravitației, el a calculat orbitele planetelor și a unor comete. Leibniz a fost condus la studiul ecuațiilor diferențiale de o problemă de geometrie, așa numita problemă inversă a tangentelor, care constă în determinarea unei curbe plecând de la unele proprietăți ale tangentei la curbă. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuație diferențială.

Combinând această lege cu legea gravitației, el a calculat orbitele planetelor și a unor comete.

Leibniz a fost condus la studiul ecuațiilor diferențiale de o problemă de geometrie, așa numita problemă inversă a tangentelor, care constă în determinarea unei curbe plecând de la unele proprietăți ale tangentei la curbă. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuație diferențială.

Lista matematicienilor care și-au adus contribuția la dezvoltarea teoriei ecuațiilor diferențiale continuă cu frații Johann și Daniel Bernoulli, Euler, Laplace, Lagrange, Cauchy, Fourier, Poincaré, Picard, Liapunov, Volterra etc.

L. Euler a dat o primă definiție clară a ecuației diferențiale, explicând și în ce constă rezolvarea unei astfel de ecuații. După L. Euler, o ecuație diferențială este o relație între x, y p =\frac {dy}{dx} și rezolvarea ei constă în găsirea unei relații între x și y care nu-l mai conține pe p.

Dintre numeroasele rezultate obținute de Euler în domeniul ecuațiilor diferențiale, amintim metoda de rezolvare a ecuațiilor diferențiale de ordinul n cu coeficienți constanți, cu numeroase aplicații în mecanică și fizică.

Problema existenței și unicității soluției unei ecuații diferențiale a fost formulată și rezolvată pentru prima oară de Cauchy și ulterior simplificată de Lipschitz. Metoda aproximațiilor succesive aparține lui Picard, iar forma sa abstractă lui Stefan Banach.

Lucrarea de față conține un minimum de cunoștințe de bază din domeniul ecuațiilor diferențiale și al ecuațiilor cu derivate parțiale, care nu pot să lipsească din cultura matematică a unui inginer constructor.

Sunt prezentate următoarele capitole: Ecuații diferențiale, Sisteme de ecuații diferențiale, Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi, Serii Fourier, Ecuații cu derivate parțiale de ordinul al doilea, Elemente de calcul variațional.

Am încercat să inițiem pe cititori în procesul de modelare a proceselor de evoluție prin ecuații diferențiale sau ecuații cu derivate parțiale, în studiul existenței și unicității soluției unei asemenea ecuații, în însușirea algoritmilor de calcul a soluției precum și în interpretarea rezultatelor.

În cadrul fiecărui capitol sunt prezentate exemple rezolvate integral, care contribuie la o bună înțelegere a teoriei. Am fost preocupați tot timpul pentru a păstra un echilibru între rigoare și accesibilitate.

Cartea se adresează în special studenților Universității Tehnice de Construcții București, dar în egală măsură și altor categorii de studenți din universități tehnice, precum și unor specialiști din cercetare și proiectare.

Mulțumim referentului științific, doamna prof. univ. dr. Ileana Toma, pentru observațiile și aprecierile făcute în urma citirii manuscrisului.


CAPITOLUL 1. ECUAȚII DIFERENȚIALE Edit

1.1. Noțiuni generale. Exemple. Teorema de existență și unicitate Edit

Prin ecuație diferențială ordinară de ordinul n se înțelege orice relație de forma:

F(x, y, y', '', y^{(n)}) = 0 \!   (1)

unde x este variabila independentă, y = y (x) este funcția necunoscută, y', y, ..., y(n) sunt derivatele funcției y și F este o funcție reală continuă definită pe un domeniu \Omega \subset \mathbb R^{n+1}

Dacă  F \in \mathfrak{C} [1] și derivata parțială \frac {\delta F}{\delta y^{(n)}} \ne 0 pe \Omega \! atunci din teorema funcțiilor implicite rezultă că, local, ecuația (1) se poate pune sub forma

 y^{(n)} = f (x, y, y', y'', \cdots y^{(n-1)}) .   (2)

Ecuația diferențială (2) se numește forma normală a ecuației (1).

Prin soluție a ecuației (1) [respectiv (2)] pe intervalul I \subset \mathbb R , se înțelege orice funcție \phi : I \rightarrow \mathbb R de clasă \mathfrak {C}^{(n)} (I),[2] care verifică ecuația

 F (x, \phi (x) , \phi'(x), \cdots \phi^{(n)}(x) )= 0, \; \forall x \in I

respectiv

  \phi^{(n)}(x) = f (x, \phi(x) \phi'(x), \cdots \phi^{(n-1)}(x)) , \; \forall x \in I

Evident, se presupune că pentru orice x \in I \!, punctul .

 x, \phi(x), \phi'(x), \cdots \phi^{(n)}(x) \in \Omega

Graficul unei soluții a ecuației diferențiale (1) se mai numește și curbă integrală a acestei ecuații diferențiale.

Cea mai simplă ecuație diferențială se întâlnește la calculul integral și constă în aflarea primitivei unei funcții. Într-adevăr, fiind dată funcția continuă f: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R, dacă notăm cu y primitiva sa, atunci obținem ecuația diferențială:

 y' = f(x), \; x \in I   (3)

Soluția ecuației diferențiale (3) este:

 y(x )= F (x)  + \mathcal C   (4)

unde F este o primitivă a lui f pe I.

Constatăm că soluția căutată nu este unică, ci există o infinitate de soluții ale ecuației (3). Soluția (4) a ecuației (3), care depinde de o constantă arbitrară C, se numește soluția generală. Fiecare soluție particulară se obține din soluția generală dacă dăm constantei C o valoare numerică concretă.

Numeroase probleme din știință și tehnică se modelează matematic prin ecuații diferențiale.

Exemplul 1.1.1. Să studiem căderea liberă a unui punct material, sub acțiunea forței gravitaționale. Alegem ca axă Oy dreapta verticală pe care se mișcă (cade) punctul; originea este la suprafața pământului, iar sensul pozitiv îl alegem în sus. Notăm cu y(t) coordonata punctului M la momentul t. Așadar, variabila independentă este timpul t, iar funcția necunoscută este y = y(t) \! .

De la mecanică știm că accelerația este y''(t) \! ; pe de altă parte, se știe că accelerația gravitațională este constantă, se notează cu g și este aproximativ egală cu 9,81 m/s2 . Cum accelerația gravitațională este orientată în jos, în sistemul de coordonate ales, va avea semnul .

Egalând cele două accelerații ale punctului, obținem ecuația diferențială:

y''(t) = -g \!   (5)

După prima integrare, obținem:

 y'(t) = -gt + \mathcal C_1 ,   (6)

iar după a doua integrare:

 y(t) = g \frac {t^2}{2} + \mathcal C_1 t + \mathcal C_2   (7)

Expresia (7) reprezintă soluția generală a ecuației (5) și conține două constante arbitrare \mathcal C_1 și \mathcal C_2.

Din (6), pentru t = 0 , deducem:

\mathcal C_1 = y'(0) = v_0 - viteza inițială a punctului.

Procedând asemănător în (7), obținem:

\mathcal C_2 = y(0) = y_0 - poziția inițială a punctului.

Cu aceste notații, obținem soluția particulară:

y(t) = -g \frac {t^2}{2} + v_0 t + y_0 .   (8)

Așadar, dacă cunoaștem poziția inițială y0 a punctului și viteza sa inițială v0, din (8) putem calcula poziția punctului material în cădere liberă la fiecare moment t.

Exemplul 1.1.2. Se știe că viteza de descompunere a radiului este direct proporțională cu cantitatea de radiu existentă. Să presupunem că în momentul t = 0 , avem R_0 \! grame de radiu. Să notăm cu R( t) cantitatea (în grame) de radiu existentă (rămasă) la momentul t > 0 și cu c (c > 0 \! ) coeficientul de proporționalitate. Suntem conduși la ecuația diferențială

 R'(t) = - c R (t) \!   (9)

Se verifică, prin derivare, că soluția acestei ecuații diferențiale este :

 R(t) = R_0 e^{-ct} \!   (10)

Exemplul 1.1.3.

Să studiem oscilațiile mici ale unui pendul (fig. 1). Notăm cu y(t) unghiul format de pendul cu axa verticală la momentul t, cu l lungimea pendulului și cu g accelerația gravitațională. Asupra punctului material P de masă m acționează forța gravitațională '\vec F \!, de mărime |\vec F| = mg \! care se descompune în componentele \vec F_1 \! și \vec F_2 \! de mărimi |\vec F_1| = mg \cos \phi și |\vec F_2| = mg \sin \phi.

Presupunând firul inextensibil, acțiunea forței \vec F \! se reduce la componenta \vec F_2. Observăm că \vec F_2 este orientată spre origine și este tangentă la arcul de cerc \widehat {OP} \! . Lungimea arcului \widehat {OP} \! este egală cu ly(t) \!, de unde deducem că accelerația unghiulară va fi ly''(t) \!. Din legea a doua a lui Newton, rezultă că:

ml \cdot y''(t) = - |\vec F_2| = -mg \sin y(t).

Deoarece pentru oscilații mici (adică valori mici ale lui y), putem aproxima \sin y \approx y \! , mai departe obținem ecuația:

 y^n (t) + \frac g l y(t) = 0   (11)

Se poate arăta că, soluția generală a acestei ecuații diferențiale este

 y(t) = A \cos \left ( \sqrt {\frac g l} t + \phi\right )   (12)

unde A și \phi \! sunt niște constante arbitrare.

Exemplul 1.1.4. Să analizăm mișcarea unui punct material de masă m care se deplasează pe axa Ox sub acțiunea unei forțe elastice \vec F \! orientată spre origine. Dacă notăm cu x(t) distanța de la punctul material la origine, la momentul t > 0 , atunci, din legea a doua a lui Newton, rezultă că:

m \ddot x (t) = F \!

Pe de altă parte, F fiind o forță elastică, este de forma F = - \omega^2 x(t) \!. Obținem astfel ecuația diferențială a oscilatorului armonic:

  m \ddot x (t) + \omega^2 x(t) = 0   (13)

Soluția generală este de forma:

x(t) = A \cos (\omega t + \phi), \; A \ge 0,

unde A și \phi \! sunt niște constante arbitrare.

În ipoteza suplimentară a existenței unei forțe de frecare proporțională cu viteza, de forma  - k \cdot \dot x(t) și a unei forțe exterioare f(t) aplicată punctului material, se obține o ecuație diferențială mai complicată și anume:

m \ddot x (t) + k \dot x (t) + \omega^2 x(t) = f (t)   (14)

Exemplul 1.1.5.

Să studiem geometria unei oglinzi care are proprietatea că reflectă razele luminoase provenite de la o sursă punctuală O, sub forma unui fascicol paralel cu o direcție dată.

Alegem punctul O ca origine a axelor de coordonate, axa Ox dreapta paralelă cu fascicolul și dreapta Oy perpendiculară pe Ox (fig. 2). Fie y = y (x), curba de intersecție dintre corpul oglinzii și planul xOy. Fie P(x,y) un punct de pe curbă, fie T punctul de intersecție dintre tangenta în P la curbă și axa Ox și fie PR perpendiculara pe tangentă în punctul P. Cum PQ este paralelă cu Ox rezultă că \angle QPT' = \angle OTP = \alpha. ținând seama că unghiul de incidență \omega_i \! este egal cu unghiul de reflexie \omega_r \!, deducem că \theta = \angle OPT = 90^\circ - \omega_i = 90^\circ - \omega_r =  \alpha, deci \angle xOP = 2 \alpha. Așadar, panta dreptei OP este \tan {2 \alpha} \frac y x. Pe de altă parte, panta dreptei PT, este \tan \alpha = y' (x) \! Cum \tan {2 \alpha} = \frac {2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}, rezultă ecuația diferențială:

\frac {2y'}{1 - y'^2} = \frac y x.,

care se mai scrie sub forma:

2x= y (\frac {1}{y'} - y').

Derivând această ecuație în raport cu y și ținând seama că \frac {dx}{dy} = \frac {1}{y'}, obținem:

2 \cdot \frac {1}{y'} = \frac {1}{y'} + y (- \frac {1}{y'^2} \cdot \frac {dy'}{dy} - \frac {dy'}{dy})

și mai departe

\frac {1}{y'} + y' = - \frac {dy'}{dy} (1 + \frac {1}{y'^2})

sau

\frac {1+y'^2}{y'} = - y \cdot \frac {dy'}{dy} \cdot \frac {1 + y'^2}{y'^2}.

Simplificând cu y' \! și cu 1+ y'^2 \!, rezultă:

1=- \frac {y}{y'} \frac {dy'}{dy},

deci

\frac {dy'}{y'} = \frac {dy}{y}.

După o primă integrare, obținem

\ln |y'| = \ln |y| + \ln \mathcal C_1, \; \mathcal C_1 >0,

sau yy' = \mathcal C_1 respectiv yy' = - \mathcal C_1. După încă o integrare, rezultă \frac {y^2}{2} = \mathcal C_1 x + \mathcal C_2, deci

y^2 = 2 \mathcal C_1 x + 2 \mathcal C_2

Așadar, am obținut o familie de parabole.

Fie M punctul de intersecție al curbei y=y(x) \! cu axa Oy. Deoarece triunghiul OMT este dreptunghic isoscel, rezultă că \alpha = 45^\circ, deci y'(0) = 1 \!. Dacă în (16) facem x = 0, obținem

 \mathcal C_2 = \frac {y^2 (0)}{2}   (17)

Pe de altă parte, derivând (16), rezultă:

yy' = \mathcal C_1

Cum y'(0) = 1 \! , rezultă y(0)= \mathcal C_1 și mai departe \mathcal C_2  = \frac {\mathcal C_1^2}{2} Prin urmare, soluția generală a ecuației (15) este:

 y^2 = 2 \mathcal C_1 x + \mathcal C_1^2   (18)

care reprezintă din punct de vedere geometric o familie de parabole simetrice față de axa Ox.

Focarul acestor parabole coincide cu originea O a axelor de coordonate. Dacă fixăm și rotim parabola în jurul axei Ox, obținem paraboloidul de rotație:

 y^2 + z^2 = 2 \mathcal C_1 (x+ \frac {\mathcal C_1}{2}) .

Așadar, oglinda are forma unui paraboloid de rotație.

Așa cum am văzut și în exemplele prezentate, o ecuație diferențială poate avea o infinitate de soluții. Fie ecuația diferențială de ordinul întâi sub formă normală:

 y' = f (x, y) \!   (19)

unde f este o funcție continuă definită pe mulțimea deschisă D \subset \mathbb R^2

Pentru a izola o anumită soluție a ecuației (19), se impune o condiție inițială și anume: pentru x= x_0 \! soluția să ia valoarea y_0 \! . Din punct de vedere geometric, aceasta revine la găsirea curbei integrale care trece prin punctul M (x_0, y_0)  \in D .

Problema lui Cauchy (Detalii la articolul Problema lui Cauchy)


1.2. Ecuații diferențiale de ordinul întâi de forme particulare Edit

1.2.1. Ecuații diferențiale cu variabile separabile Edit

(Detalii la articolul Ecuație diferențială cu variabile separabile)


1.2.2. Ecuații diferențiale omogene Edit

(Detalii la articolul ecuație diferențială omogenă)


1.2.3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi Edit

(Vezi detalii la articolul Ecuație diferențială liniară de ordinul întâi)


1.2.4. Ecuații diferențiale de tip Bernoulli Edit

(Detalii la articolul Ecuație diferențială de tip Bernoulli)


1.2.5. Ecuații diferențiale de tip Riccati Edit

(Detalii la articolul ecuație diferențială de tip Riccati)


1.2.6. Ecuații diferențiale de tip Clairaut Edit

(Detalii la articolul Ecuație diferențială de tip Clairaut)


1.2.7. Ecuații cu diferențiale exacte. Factor integrant Edit

(Detalii la articolul Ecuație diferențială exactă)


1.3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul n Edit

(Vezi detalii la articolul Ecuație diferențială liniară de ordinul n)

= Ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi Edit

(Vezi detalii la articolul Ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi)


1.4. Ecuații diferențiale de tip Euler Edit

1.5. Studiul vibrațiilor unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate Edit

(Detalii la articolul Vibrațiile unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate)


1.6. Metode numerice. Metoda Euler Edit

CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAȚII DIFERENțIALE Edit

2.1. Sisteme de ecuații diferențiale. Teorema de existență și unicitate Edit

(Detalii la articolul Sistem de ecuații diferențiale)


CAPITOLUL 3. ECUAȚII CU DERIVATE PARȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI Edit

3.1. Sisteme autonome de ecuații diferențiale Edit

3.2. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi liniare și omogene Edit

3.3. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi cvasiliniare Edit

CAPITOLUL 4. SERII FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER Edit

4.1. Serii trigonometrice. Serii Fourier Edit

CAPITOLUL 5. ECUAȚII CU DERIVATE PARȚIALE DE ORDINUL AL DOILEA Edit

5.1. Clasificarea ecuațiilor cu derivate parțiale cvasiliniare de ordinul al doilea Edit

5.2. Ecuația coardei vibrante Edit

(Detalii la articolul Ecuația coardei vibrante)

CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE CALCUL VARIAȚIONAL Edit

6.1. Introducere Edit

Note Edit

  1. F este de clasă \mathfrak {C}^{(1)} pe \Omega \!, dacă dacă F și derivatele sale parțiale de ordinul întâi sunt continue pe \Omega \!.
  2. \phi \! este de clasă \mathfrak{C}^{(n)} pe I , dacă \phi \! și derivatele sale \phi', \phi'', \cdots \phi^{(n)} \! sunt continue pe I.

Vezi și Edit

Resurse Edit