Ecuație cubică

Ecuația cubică este o ecuație algebrică de forma generală:

$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0,\!$

unde $A,B,C,D\in \mathbb {C} ,\!$ cu condiţia $A \neq 0. \!$

Dacă simplificăm prin A, ecuaţia dobândeşte forma mai simplă:

$x^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\!$

Pentru a o rezolva, utilizăm substituţia:

$x=y+r\!$

şi vom determina valoarea lui r astfel încât termenul în $x^{2}\!$ să se anuleze.

Facând substituţia şi efectuând calculele, vom obţine $r=-{\frac {b}{3}}.\!$

Ecuaţia revine la una de forma:

$y^{3}+py+q=0.\!$

Rădăcinile acesteia sunt:

$y_{1}=u+v\!$

$y_{2}=\alpha u+\alpha ^{2}v\!$

$y_{3}=\alpha ^{2}u+\alpha v,\!$

unde::

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\bigg (}{\frac {q}{2}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {p}{3}}{\bigg )}^{3}}}}}\!$

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\bigg (}{\frac {q}{2}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {p}{3}}{\bigg )}^{3}}}}}\!$

şi

$\alpha =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\!$ (una din rădăcinile cubice ale unităţii).

Aceste formule au fost descoperite independent de Scipione del Ferro (c. 1510) şi Tartaglia (c. 1530) şi poartă în mod eronat numele lui Cardano, care le-a publicat în lucrarea sa Ars magna (1545) ca pe o descoperire proprie.

Resurse

• Wolfram MathWorld
• MATH-abundance