Fandom

Math Wiki

Ecuația undelor sonore

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O perturbație oarecare, cum ar fi sunetul produs de o persoană, se propagă în aer sub forma undelor sonore. Dacă într-un capăt al unui tub cu gaz se mișcă un piston, perturbația produsă de acesta se propagă de-a lungul tubului. Ne propunem să stabilim ecuațiile care guvernează un asemenea fenomen.

Presupunem că în starea de echilibru le momentul 0, aerul (gazul) are o densitate \rho_0 \! constantă în întreaga masă. Dacă considerăm în gaz o suprafață mică d \sigma \! de normală \vec n, \! particulele din partea unde este dirijată normala acționează asupra particulelor din partea cealaltă cu o forță -p \vec n d \sigma, \! mărimea p>0 \! numindu-se presiune. Ea este nenulă chiar în poziția de echilibru. Vom presupune că valoarea acesteia la echilibru p_0 \! este constantă în întreaga masă.

Vom raporta mișcarea la un sistem de coordonate rectangular Oxyz \! cu versorii axelor \vec i, \vec j, \vec k. \! O particulă oarecare are la momentul 0 vectorul de poziție \vec R = X \vec i + Y \vec j + Z \vec k. \! La momentul t aceeași particulă are vectorul de poziție \vec R = x \vec i + y \vec j + z \vec k, \! unde coordonatele x, y, z \! sunt evident funcții de coordonatele inițiale X, Y, Z \! și timpul t. Vectorul \vec U = \vec r - \vec R = u \vec i + v \vec j + w \vec k \! este vectorul deplasare al particulei. Viteza particulei este \vec v = \frac {\partial \vec r}{\partial t} = \frac {\partial U}{\partial t}. \!

Având în vedere că două particule oarecare distincte trebuie considerate distincte tot timpul mișcării, funcțiile amintite mai sus sunt bijecții, adică se pot explicita și coordonatele inițiale X, Y, Z \! ca funcții de coordonatele x, y, z \! și timpul t. În acest fel orice mărime caracteristică a mișcării poate fi exprimată fie ca funcție de coordonatele inițiale X, Y, Z \! și timpul t, fie ca funcție de coordonatele x, y, z \! și timpul t. Coordonatele X, Y, Z \! și timpul t se numesc coordonate materiale sau coordonate lagrangiene; coordonatele x, y, z \! și timpul t se numesc coordonate spațiale sau coordonate euleriene. În cazul nostru deplasările \vec U = \vec r - \vec R \! ale particulelor sunt mici de un ordin de mărime \varepsilon \! astfel încât mărimile de ordinul lui \varepsilon^2 \! vor fi neglijabile. Din acest motiv este de preferat să folosim coordonate materiale.

Datorită mișcării, în punctul x, y, z \! corespunzător poziției la momentul t a particulei care avea poziția inițială X, Y, Z, \! densitatea va avea valoarea \rho (x, y, z, t) = \rho (X, Y, Z, t), \! în general diferită de valoarea \rho_0. \! De asemenea, presiunea va avea o valoare p(x, y, z, t) = p (X, Y, Z, t) ,\! în general diferită de p_0. \! (Am notat funcțiile depinzând de x, y, z, t \! sau X, Y, Z, t \! cu aceeași literă pentru a nu complica notația.) Abaterile densității și presiunii de la valorile de echilibru \tilde \rho = \rho - \rho_0, \; \tilde p = p - p_0 \! vor fi tot mici de ordinul de mărime \varepsilon. \! Între presiune și densitate există o relație de forma p= p (\rho). \! Dacă am consideera că mișcarea este izotermă, cum a considerat Newton, am avea o relație de forma:

p = \frac {p_0}{\rho_0} \rho. \!

Experiența arată că mișcarea nu este izotermă, ci adiabatică: deplasările sunt mici, dar mult mai mari decât drumul liber mijlociu parcurs de moleculele de gaz în mișcarea termică, așa că în timpul mișcării nu are loc un schimb de căldură. Vom presupune valabilă relația:

p = \frac {p_0}{\rho_0 \gamma} \rho \gamma, \!


\gamma \! fiind o constantă care pentru aer are valoarea \gamma= 1,4. \! Rezultă că între abaterile presiunii și densității de la valorile de echilibru vom avea relația:

\tilde p = \gamma \frac {p_0}{\rho_0} \tilde \rho. \!

(Am ținut cont că pentru u mic avem (1+u) \gamma \cong 1+ \gamma u. \! )

Particulele care la momentul iniţial 0 ocupă un domeniu D(0) \! vor avea masa m(D(0)) = \int_{D(0)} \rho_0 dV. \! La momentul t aceste particule vor ocupa un domeniu D(t) \! şi vor avea masa m(D(t)) = \int_{D(t)} \rho (x, y, z, t) dv. \! Cum iacobianul:

\frac{D(x, y, z)}{D(X, Y, Z)} = \begin{vmatrix} \frac {\partial x}{\partial X} & \frac {\partial x}{\partial Y} & \frac {\partial x}{\partial Z} \\ \frac {\partial y}{\partial X} & \frac {\partial y}{\partial Y} & \frac {\partial y}{\partial Z} \\ \frac {\partial z}{\partial X} & \frac {\partial z}{\partial Y} & \frac {\partial z}{\partial Z}  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 + \frac {\partial u}{\partial X} & \frac {\partial u}{\partial Y} & \frac {\partial u}{\partial Z} \\ \frac {\partial v}{\partial X} & 1 + \frac {\partial v}{\partial Y} & \frac {\partial v}{\partial Z} \\ \frac {\partial w}{\partial X} & \frac {\partial w}{\partial Y} & 1+ \frac {\partial w}{\partial Z} \end{vmatrix} \!

se poate scrie, abstracţie făcând de termenii de ordinul lui \varepsilon^2: \!

\frac{D(x, y, z)}{D(X, Y, Z)} = 1 + \frac {\partial u}{\partial X} +  \frac {\partial v}{\partial Y} +  \frac {\partial w}{\partial Z} = 1 + DIV \vec U. \!

vom avea:

m(D(t))= \int_{D(t)} \rho (x, y, z, t) dv = \int_{D(0)} \rho (X, Y, Z, t) (1 + DIV \vec U) dV. \!

Notăm cu iniţiale mari operatorii diferenţiali în raport cu variabilele X, Y, Z. \! Masa se conservă în timpul mişcării şi deci vom avea pentru orice domeniu D(0): \!

\int_{D(0)} \rho_0 dV = \int_{D(0)} \rho (X, Y, Z, t) (1 + DIV \vec U) dV. \!

Rezultă aşa numita ecuaţie de continuitate în coordonate materiale pe care trebuie să o verifice densitatea şi deplasarea:

\rho_0 = \rho (X, Y, Z, t) (1+ DIV \vec U), \!

sau în abaterea densităţii:

\tilde \rho + \rho_0 DIV \vec U = 0. \!

Particulele care la momentul 0 ocupă domeniul D(0) \! au la momentul t cantitatea de mişcare:

\vec H (D(0)) = \int_{D(t)} \rho (x, y, z, t) \frac {\partial \vec U}{\partial t} dv = \int_{D(0)} \rho (X, Y, Z, t) \frac {\partial \vec U}{\partial t} (1+ DIV \vec U) dV, \!

sau ţinând cont de ecuaţia de continuitate:

\vec H (D(0)) = \int_{D(0)} \rho_0 \frac {\partial \vec U}{\partial t} dV. \!

Forţele care acţionează asupra particulelor din domeniul D(0) \! la momenrul t sunt datorate presiunii din partea particulelor exterioare (neglijăm forţele exterioare cum ar fi de exemplu greutatea gazului)

\vec F (D(0)) = - \int_{D(t)} p (x, y, z, t) \vec n d \sigma = - \int_{D(t)} grad p dv = - \int_{D(t)} grad \vec p dv. \!

Cum avem:


Ecuatia undelor sonore 4.png


Ecuatia undelor sonore 5.png


Ecuatia undelor sonore 6.png


Ecuatia undelor sonore 7.png

Sursa Edit

Also on Fandom

Random Wiki