Fandom

Math Wiki

Ecuația Laplace

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Se consideră un câmp scalar \varphi. \! Ecuaţia Laplace în coordonate carteziene este:

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} =0.  \!

Acestă ecuaţie apare în multe domenii ale fizicii ca: studiul câmpurilor potenţiale (gravitație, electrostatică) mecanica fluidelor etc.

Pentru a putea determina câmpul scalar se stabilesc o serie de condiţii-limită. O soluţie a ecuaţiei Laplace se numeşte funcție armonică (pentru motive care vor fi expuse ulterior).


Vom căuta o soluţie de tipul:

\varphi (x, y, z) = A(x)B(y)C(z). \!

Oricare soluţie ar putea fi exprimată ca suma unui număr finit sau infinit de astfel de forme.

Introducând-o în ecuaţie, obţinem:

\frac{d^2A(x)}{dx^2}B(y)C(z) + A(x) \frac{d^2B(y)}{dy^2} C(z) + A(x)B(y) \frac{d^2 C(z)}{dz^2} = 0. \!

Împărţind prin produsul A(x)B(y)C(z), \! ajungem la:

\frac{1}{A(x)} \frac{d^2 A(x)}{dx^2} + \frac{1}{B(y)} \frac{d^2 B(y)}{dy^2} + \frac{1}{C(z)} \frac{d^2 C(z)}{dz^2} =0. \!

Deoarece x, y şi z variază independent, rezultă că toţi cei trei termeni sunt constanţi. Notăm cele trei constante cu:

\alpha^2 = \frac{1}{A(x)} \frac{d^2 A(x)}{dx^2} \; \; \beta^2 = \frac{1}{B(y)} \frac{d^2 B(y)}{dy^2} \; \; \gamma^2 = \frac{1}{C(z)} \frac{d^2 C(z)}{dz^2}. \!

Deci:

\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 0. \!

Luând prima din aceste constante, avem:

\frac{d^2 A(x)}{dx^2} - \alpha^2 A(x) = 0. \!

care descrie mişcarea oscilatorului liniar armonic. Acesta este motivul pentru care soluţiile ecuaţiei Laplace se numesc "funcţii armonice".

Ecuaţia caracteristică polinomială este:

s^2 -\alpha^2 =0 \!

ale cărei rădăcini sunt \pm \alpha \! astfel că soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este:

A(x) = a_1 e^{\alpha x} + a_2 e^{-\alpha x} \!

pentru constantele a_1, a_2. \!

La fel se procedează pentru B(y) \! şi C(z), \! astfel că soluţia generală a ecuaţiei Laplace de forma A(x)B(y)C(z) \! este:

\varphi(x, y, z) = (a_1 e^{\alpha x} + a_2 e^{-\alpha x}) (b_1 e^{\beta x} + b_2 e^{-\beta x}) (c_1 e^{\gamma x} + c_2 e^{-\gamma x}),  \!

unde a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \! sunt constante arbitrare, \alpha, \beta, \gamma \! sunt constante complexe care satisfac proprietatea \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 0. \! Valorile acestor constante, care să satisfacă anumite condiţii limită, se determină cu ajutorul analizei Fourier.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki