FANDOM


Se consideră un câmp scalar $ \varphi. \! $ Ecuaţia Laplace în coordonate carteziene este:

$ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} =0. \! $

Acestă ecuaţie apare în multe domenii ale fizicii ca: studiul câmpurilor potenţiale (gravitație, electrostatică) mecanica fluidelor etc.

Pentru a putea determina câmpul scalar se stabilesc o serie de condiţii-limită. O soluţie a ecuaţiei Laplace se numeşte funcție armonică (pentru motive care vor fi expuse ulterior).


Vom căuta o soluţie de tipul:

$ \varphi (x, y, z) = A(x)B(y)C(z). \! $

Oricare soluţie ar putea fi exprimată ca suma unui număr finit sau infinit de astfel de forme.

Introducând-o în ecuaţie, obţinem:

$ \frac{d^2A(x)}{dx^2}B(y)C(z) + A(x) \frac{d^2B(y)}{dy^2} C(z) + A(x)B(y) \frac{d^2 C(z)}{dz^2} = 0. \! $

Împărţind prin produsul $ A(x)B(y)C(z), \! $ ajungem la:

$ \frac{1}{A(x)} \frac{d^2 A(x)}{dx^2} + \frac{1}{B(y)} \frac{d^2 B(y)}{dy^2} + \frac{1}{C(z)} \frac{d^2 C(z)}{dz^2} =0. \! $

Deoarece x, y şi z variază independent, rezultă că toţi cei trei termeni sunt constanţi. Notăm cele trei constante cu:

$ \alpha^2 = \frac{1}{A(x)} \frac{d^2 A(x)}{dx^2} \; \; \beta^2 = \frac{1}{B(y)} \frac{d^2 B(y)}{dy^2} \; \; \gamma^2 = \frac{1}{C(z)} \frac{d^2 C(z)}{dz^2}. \! $

Deci:

$ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 0. \! $

Luând prima din aceste constante, avem:

$ \frac{d^2 A(x)}{dx^2} - \alpha^2 A(x) = 0. \! $

care descrie mişcarea oscilatorului liniar armonic. Acesta este motivul pentru care soluţiile ecuaţiei Laplace se numesc "funcţii armonice".

Ecuaţia caracteristică polinomială este:

$ s^2 -\alpha^2 =0 \! $

ale cărei rădăcini sunt $ \pm \alpha \! $ astfel că soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este:

$ A(x) = a_1 e^{\alpha x} + a_2 e^{-\alpha x} \! $

pentru constantele $ a_1, a_2. \! $

La fel se procedează pentru $ B(y) \! $ şi $ C(z), \! $ astfel că soluţia generală a ecuaţiei Laplace de forma $ A(x)B(y)C(z) \! $ este:

$ \varphi(x, y, z) = (a_1 e^{\alpha x} + a_2 e^{-\alpha x}) (b_1 e^{\beta x} + b_2 e^{-\beta x}) (c_1 e^{\gamma x} + c_2 e^{-\gamma x}), \! $

unde $ a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \! $ sunt constante arbitrare, $ \alpha, \beta, \gamma \! $ sunt constante complexe care satisfac proprietatea $ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 0. \! $ Valorile acestor constante, care să satisfacă anumite condiţii limită, se determină cu ajutorul analizei Fourier.

Vezi şi Edit

Resurse Edit