FANDOM


Formula lui Poiseuille

Distribuţia parabolică a vitezelor într-un fluid care curge laminar

Ecuația Hagen-Poiseuille exprimă distribuţia vitezelor în cazul curgerii unui fluid printr-o conductă. A fost elaborată independent de către Gotthilf Hagen (1797-1884) şi Jean-Louis Marie Poiseuille.

Să studiem curgerea laminară staţionară a unui fluid vâscos printr-un tub cilindric. Curgerea laminară are loc la viteze nu prea mari sau la diametre nu prea mari.

Să delimităm un tub de curent de rază r. Asupra fluidului din acest tub acţionează forţele de presiune de la extremităţi cu rezultanta $ p_1 \pi r^2 - p_2 \pi r^2 \! $ şi forţa de frecare internă pe suprafaţa laterală, exercitată de restul fluidului, datorită viscozităţii este $ \tau 2 \pi rl. \! $

Curgerea fiind staţionară (cu viteză constantă), forţele se echilibrează:

$ (p_1 - p_2) \pi r^2 = 2 \pi rl \tau. \! $   (1)

Conform legii lui Newton pentru fluide:

$ \tau = \frac {dF}{dS} = \eta \frac{dv}{dr}, \; \; dF = \eta \frac{dv}{dr} \cdot dS, \! $   (2)

unde $ \eta \! $ este coeficientul de viscozitate dinamică (depinde de natura fluidului şi de temperatură).

Poiseuille abstraction

Rezultă:

$ (p_1 - p_2)r = -2l \eta \frac {dv}{dr}, \! $   (3)

unde semnul minus se datorează semnului negativ al gradientului vitezei:

$ \frac {dv}{dr} <0. \! $   (4)

Viteza pe axa tubului este maximă şi scade spre pereţii tubului, fiind nulă la perete, în stratul adiacent.

Prin integrare obţinem:

$ dv = - \frac {p_1 - p_2}{2l \eta} \cdot r \mathit{dr}, \; \; v=- \frac{p_1 - p_2}{4l \eta}r^2 + \mathcal C, \! $   (5)

unde contsnta de integrare $ \mathcal C \! $ se determină din condiţia că, la perete, pentru $ r=R, \! $ viteza este nulă:

$ v(r) = \frac {p_1 - p_2}{4l \eta} (R^2 - r^2) = v_m (1- \frac {r^2}{R^2}), \! $   (6)
$ v_m =\frac {p_1 - p_2}{4l \eta} R^2 , \ \; \frac {v}{v_m} = 1- \bigg (\frac rR \bigg )^2. \! $   (7)

Aşadar, distribuţia vitezelor este parabolică.

Să calculăm debitul volumic:

$ Q_v = \int v \; dS = \int_0^R v 2 \pi r \; dr = \frac {2 \pi (p_1 - p_2)}{4 l \eta} \int_0^R (R^2 - r^2) r \; dr, \! $   (8)
$ Q_v = \frac {\pi (p_1 - p_2)}{8 l \eta} R^4 = S \bar v, \! $   (9)

unde:

$ \bar v = \frac{p_1 - p_2}{8l \eta} R^2. \! $   (10)

Aceasta este formula lui Poiseuille (1841).

Deci debitul este proporţional cu căderea de presiune pe unitatea de lungime a tubului şi cu puterea a patra a razei tubului.

Această formulă este utilizată pentru determinarea viscozităţii fluidelor (de exemplu, în viscozimetrul lui Ostwald).

Legea lui Poiseuille explică unele aspecte ale fiziologiei circulaţiei sanguine. Într-adevăr, reţeaua capilară a omului însumează $ 10^5 \! $ km! După necesităţile organismului, debitul sângelui este reglat cu uşurinţă prin contracția sau dilatarea vaselor sanguine ($ \sim R^4 \; ! \! $), sângele necesar fiind luat din splină şi ficat.

Vezi şi Edit