FANDOM


Ecuația Cauchy–Euler este o ecuație diferențială de forma:

$ x^2y'' + bxy' + cy =0 \! $   (CE)

unde b şi c sunt constante. Efectuăm schimbarea de variabilă:

$ x= e^t. \! $

Avem:

$ \frac {dy}{dx} = e^{-t} \frac{dy}{dt} \! $
$ \frac{d^2y}{dx^2} = \bigg ( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \bigg ) e^{-2t}. \! $

Ecuaţia iniţială (CE) se reduce la o nouă ecuaţie:

$ \frac{d^2y}{dt^2} +(b-1)\frac{dy}{dt} =0. \! $

Recunoaştem aici o ecuație diferențială de ordinul al doilea.

Scriem ecuaţia caracteristică:

$ r^2 +(b-1)r+c=0. \! $   (1)

Dacă rădăcinile $ r_1, r_2 \! $ sunt numere reale distincte, atunci soluţia generală este:

$ y(x) = c_1 |x|^{r_1} + c_2 |x|^{r_2}. \! $   (2)

Dacă $ r_1 = r_2 \! $ atunci soluţia generală este:

$ y(x) = \bigg ( c_1 + c_2 \ln |x| \bigg ) |x|^{r_1}. \! $   (3)

Dacă $ r_1, r_2 \in \mathbb C \! $ atunci soluţia generală este:

$ y = \bigg ( c_1 \cos (\beta \ln |x|) + c_2 \sin (\beta \ln |x|) \bigg ) |x|^{\alpha}, \! $

unde $ \alpha = - \frac {(b-1)}{2} \! $ şi $ \beta = \frac {\sqrt {4c- (b-1)^2}}{2}. \! $

Exemplu Edit

Să determinăm soluţia generală a ecuaţiei:

$ x^2y'' - xy' + y=0. \! $

Ecuaţia caracteristică este:

$ r^2- 2 r +1=0. \! $

Deoarece 1 este rădăcină dublă, soluţia generală este:

$ y(x) = \bigg ( c_1 + c_2 \ln |x| \bigg ) |x|. \! $

Resurse Edit