Fandom

Math Wiki

Ecuația Cauchy–Euler

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuația Cauchy–Euler este o ecuație diferențială de forma:

x^2y'' + bxy' + cy =0 \!   (CE)

unde b şi c sunt constante. Efectuăm schimbarea de variabilă:

x= e^t. \!

Avem:

\frac {dy}{dx} = e^{-t} \frac{dy}{dt} \!
\frac{d^2y}{dx^2} = \bigg ( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \bigg ) e^{-2t}. \!

Ecuaţia iniţială (CE) se reduce la o nouă ecuaţie:

\frac{d^2y}{dt^2} +(b-1)\frac{dy}{dt} =0. \!

Recunoaştem aici o ecuație diferențială de ordinul al doilea.

Scriem ecuaţia caracteristică:

r^2 +(b-1)r+c=0. \!   (1)

Dacă rădăcinile r_1, r_2 \! sunt numere reale distincte, atunci soluţia generală este:

y(x) = c_1 |x|^{r_1} + c_2 |x|^{r_2}. \!   (2)

Dacă r_1 = r_2 \! atunci soluţia generală este:

y(x) = \bigg ( c_1 + c_2 \ln |x| \bigg ) |x|^{r_1}. \!   (3)

Dacă r_1, r_2 \in \mathbb C \! atunci soluţia generală este:

y = \bigg ( c_1 \cos (\beta \ln |x|) + c_2 \sin (\beta \ln |x|) \bigg ) |x|^{\alpha}, \!

unde \alpha = - \frac {(b-1)}{2} \! şi \beta = \frac {\sqrt {4c- (b-1)^2}}{2}. \!

Exemplu Edit

Să determinăm soluţia generală a ecuaţiei:

x^2y'' - xy' + y=0. \!

Ecuaţia caracteristică este:

r^2- 2 r +1=0. \!

Deoarece 1 este rădăcină dublă, soluţia generală este:

y(x) = \bigg ( c_1 + c_2 \ln |x| \bigg ) |x|. \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki