FANDOM


Un drum este o funcție continuă:

$ \gamma : [a, b] \mapsto \mathcal C^0, \! $

unde $ \gamma(a) \! $ este punctul iniţial, $ \gamma(b) \! $ punctul final, iar $ \mathcal C^0 $ reprezintă spaţiul funcţiilor continue.

Adeseori, un drum parametrizat prin parametrul t este notat prin $ \sigma(t). \! $

În teoria grafurilor, drumul este un șir $ \{ x_1, x_2, \cdots , x_n \} \! $ cu proprietatea că $ (x_1, x_2), (x_2, x_3), \cdots , (x_{n-1}, x_n) \! $ sunt muchii ale grafului.

Un drum într-un spațiu topologic X este o funcţie continuă $ f: [0, 1] \rightarrow X. \! $ Uneori drumul este asociat cu imaginea funcţiei f.


Fie drumul d definit prin ecuaţiile: $ x=x(t) , \; y=y(t), \; t \in I. \! $ Spunem că drumul este simplu dacă nu are puncte multiple. Punctul $ P(t') \in d \! $ este multiplu dacă există $ t'' \in (a, b) \subset I \! $ cu $ t'' \neq t' \! $ şi $ d(t'')= d(t').\! $ d este închis dacă $ I=[a, b] \! $ şi $ d(a) = d(b). \! $

Exemple Edit

1. Considerăm drumul:

$ x= \frac {2 + t^2}{1+ t^2}, \; \; y = \frac {t^3}{1+ t^2}, \; \; t \in \mathbb R. \! $

Acesta este drum simplu căci din $ x(t') = x(t'') \! $ rezultă $ t'' =- t' , \! $ iar din $ y(t') = y(t'') \! $ găsim t'=0. Drumul considerat are tangentă continuă căci $ x(t), y(t) \in \mathcal C^{\infty} (\mathbb R). \! $ Drumul nu este neted căci $ x'(o)= y'(o), \! $ punctul $ d(o)= A(2, 0) \! $ fiind singular.


2. Considerăm drumul:

Grafic pentru drum

Fig. 1

$ x= \frac 1 2 f(3^0 t) + \frac {1}{2^2} f(3^2 t) + \frac {1}{2^3} f(3^4 t) + \cdots \! $
$ y= \frac 1 2 f(3^1 t) + \frac {1}{2^2} f(3^3 t) + \frac {1}{2^3} f(3^5 t) + \cdots \! $

unde $ t \in [0, 1], \! $ cu $ f(t) \! $ o funcție continuă, periodică de perioadă 2 , reprezentată în intervalul $ I= [-1, 1] \! $ prin graficul din fig. 1.

Observăm că $ f(t) \in [0, 1]. \! $ Ambele serii sunt majorate de seria convergentă $ \sum \frac{1}{2^n}, \! $ fiind uniform convergente în orice inteval finit. Termenii acestor serii fiind funcţii continue de t, atunci x(t) şi y(t) sunt funcţii continue; termenii ambelor serii fiind pozitivi iar suma seriei majorate egală cu 1, rezultă:

$ 0 \le x \le 1, \; \; 0 \le y \le 1. \! $

Scriind:

$ x_0 = \frac{a_0}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \cdots + \frac {a_{2n-2}}{2^n} + \cdots , \! $
$ y_0 = \frac{a_1}{2} + \frac{a_3}{2^2} + \cdots + \frac {a_{2n-1}}{2^n} + \cdots , \! $

în reprezentarea binară (unde numerele $ a_i \! $ nu pot lua decât una din valorile 0 sau 1), să arătăm că există o valoare $ t_0 \in (0, 1), \! $ astfel încât să avem $ x(t_0) = x_0, \; y(t_0) = y_0; \! $ această valoare este:

$ t_0 =\frac{2a_0}{3} + \frac{2a_1}{3^2} + \cdots + \frac{2a_{k-1}}{3^k} + \frac{2a_k}{3^{k+1}} + \cdots . \! $

Într-adevăr, să ne limităm la calculul valorilor lui $ f(3^k t_0) \! $ pentru $ k= 0, 1, 2, \cdots. \! $ Avem:

$ 3^k t_0 = \! $ număr par $ + \frac{2a_k}{3} + \frac{2a_{k+1}}{3^2} + \cdots. $

Să presupunem $ a_k = 0; \! $ atunci:

$ \frac 2 3 \le \frac{2a_k}{3} + \frac{2a_{k+1}}{3^2} + \cdots \le \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \cdots =1, \! $ deci $ f(3^k t_0) =1. \! $

În ambele cazuri:

$ f(3^k t_0) =a_k. \! $

Aşadar, avem $ x(t_0) = x_0, \; y(t_0) = y_0. \! $

Deci: drumul d umple un pătrat (în sensul că trece prin toate punctele pătratului).

Un astfel de drum e datorit lui Peano.

Vezi şi Edit

Resurse Edit