Fandom

Math Wiki

Drum

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Un drum este o funcție continuă:

\gamma : [a, b] \mapsto \mathcal C^0, \!

unde \gamma(a) \! este punctul iniţial, \gamma(b) \! punctul final, iar \mathcal C^0 reprezintă spaţiul funcţiilor continue.

Adeseori, un drum parametrizat prin parametrul t este notat prin \sigma(t). \!

În teoria grafurilor, drumul este un șir \{ x_1, x_2, \cdots , x_n \} \! cu proprietatea că (x_1, x_2), (x_2, x_3), \cdots , (x_{n-1}, x_n) \! sunt muchii ale grafului.

Un drum într-un spațiu topologic X este o funcţie continuă f: [0, 1] \rightarrow X. \! Uneori drumul este asociat cu imaginea funcţiei f.


Fie drumul d definit prin ecuaţiile: x=x(t) , \; y=y(t), \; t \in I. \! Spunem că drumul este simplu dacă nu are puncte multiple. Punctul P(t') \in d \! este multiplu dacă există t'' \in (a, b) \subset I \! cu t'' \neq t' \! şi d(t'')= d(t').\! d este închis dacă I=[a, b] \! şi d(a) = d(b). \!

Exemple Edit

1. Considerăm drumul:

x= \frac {2 + t^2}{1+ t^2}, \; \;  y = \frac {t^3}{1+ t^2}, \; \; t \in \mathbb R. \!

Acesta este drum simplu căci din x(t') = x(t'') \! rezultă t'' =- t' , \! iar din y(t') = y(t'') \! găsim t'=0. Drumul considerat are tangentă continuă căci x(t), y(t) \in \mathcal C^{\infty} (\mathbb R). \! Drumul nu este neted căci x'(o)= y'(o), \! punctul d(o)= A(2, 0) \! fiind singular.


2. Considerăm drumul:

Grafic pentru drum.png

Fig. 1

x= \frac 1 2 f(3^0 t) + \frac {1}{2^2} f(3^2 t) + \frac {1}{2^3} f(3^4 t) + \cdots  \!
y= \frac 1 2 f(3^1 t) + \frac {1}{2^2} f(3^3 t) + \frac {1}{2^3} f(3^5 t) + \cdots  \!

unde t \in [0, 1], \! cu f(t) \! o funcție continuă, periodică de perioadă 2 , reprezentată în intervalul I= [-1, 1] \! prin graficul din fig. 1.

Observăm că f(t) \in [0, 1]. \! Ambele serii sunt majorate de seria convergentă \sum \frac{1}{2^n}, \! fiind uniform convergente în orice inteval finit. Termenii acestor serii fiind funcţii continue de t, atunci x(t) şi y(t) sunt funcţii continue; termenii ambelor serii fiind pozitivi iar suma seriei majorate egală cu 1, rezultă:

0 \le x \le 1, \; \; 0 \le y \le 1. \!

Scriind:

x_0 = \frac{a_0}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \cdots + \frac {a_{2n-2}}{2^n} + \cdots , \!
y_0 = \frac{a_1}{2} + \frac{a_3}{2^2} + \cdots + \frac {a_{2n-1}}{2^n} + \cdots , \!

în reprezentarea binară (unde numerele a_i \! nu pot lua decât una din valorile 0 sau 1), să arătăm că există o valoare t_0 \in (0, 1), \! astfel încât să avem x(t_0) = x_0, \; y(t_0) = y_0; \! această valoare este:

t_0 =\frac{2a_0}{3} + \frac{2a_1}{3^2} + \cdots + \frac{2a_{k-1}}{3^k} + \frac{2a_k}{3^{k+1}} + \cdots . \!

Într-adevăr, să ne limităm la calculul valorilor lui f(3^k t_0) \! pentru k= 0, 1, 2, \cdots. \! Avem:

3^k t_0 = \! număr par + \frac{2a_k}{3} + \frac{2a_{k+1}}{3^2} + \cdots.

Să presupunem a_k = 0; \! atunci:

 \frac 2 3 \le  \frac{2a_k}{3} + \frac{2a_{k+1}}{3^2} + \cdots \le \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \cdots =1, \! deci f(3^k t_0) =1. \!

În ambele cazuri:

f(3^k t_0) =a_k. \!

Aşadar, avem x(t_0) = x_0, \; y(t_0) = y_0. \!

Deci: drumul d umple un pătrat (în sensul că trece prin toate punctele pătratului).

Un astfel de drum e datorit lui Peano.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki